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onasin — =

7. Si les points d'une surface correspondent^ un à un, à ceux d'une autre surface , de telle sorte qu'un point de l'une étant choisi, son correspondant se trouve déterminé sur Vautre, la distance de deux points infiniment voisins de tune des surfaces est de même ordre que celle de leurs correspondants.

Considérons, en effet, deux points A et B de la première surface et leurs correspondants P et Q sur la seconde. Supposons que B se rapproche de A en suivant une certaine courbe sur la première surface, Q se rapprochera en même temps de P en suivant une courbe correspondante. Si nous portons exclusivement notre attention sur ces deux courbes, nous rentrons dans le cas examiné plus haut, et nous pouvons conclure de ce qui a été dit (5) que les distances AB et PQ sont des infiniment petits de même ordre.

8. Donnons maintenant un exemple d'infiniment petit du second ordre. Considérons une courbe plane quelconque et la tangente en un point M. Si d'un point M'

« PREMIËRK l'ARTIK. CAI-CIL DIFKÈRENTIKL.

situé sur ia courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M on abaisse sur cette tangente une perpendiculaire M'P, Ml* sera un infiniment petit du second ordre.

Et d'abord il est facile de voir, par la considération du triangle .M M'P, que M'P est un infiniment petit d'un ordre supérieur au premier: on a, en effet, dans ce triangle,

et comme l'angle PMM' est évidemment infiniment petit, MM' étant du premier ordre, M'P est ; 1 ; un infiniment petit d'un ordre supérieur. Il nous reste à prouver que sin PMM' ou, ce qui revient au même, l'angle PMM' est un infiniment petit du premier ordre, car. cela étant, M'P sera le produit de deux infiniment petits du premier ordre et par conséquent du second ordre. Pour faire cette démonstration, considérons la tangente en M' à la courbe1 donnée, et soit I le point où elle coupe la tangente en M. Si l'on nomme i l'angle formé par ces deux tangentes, on a évidemment

i = IMM' + IM'M.

en sorte que i est de même ordre que les angles IMM' et IM'M. Il suffit donc d'établir que cet angle i est du premier ordre. Or cela résulte de ce <|iii a été démontré ' 6 . En effet, la direction de la tangente en M est déterminée par l'abscisse tlu point M: si donc cette abscisse augmente d'une quantité infiniment petite du premier ordre, la tangente s'infléchira de manière à former avec la position voisine un angle du premier ordre, et cet angle est précisément £.

Nous signalerons une conséquence immédiate de la proposition précédente. Si d'un point 0 on abaisse une perpendiculaire <)P sur une ligne droite AB, et que Pou joigne ensuite le même point 0 à un point P' de la même ligne infiniment voisin de P, PP' étant considéré comme infiniment petit principal, la différence OP' — OP est du second ordre, car elle est égale à la portion de la ligne OP' comprise entre le cercle décrit du point 0 comme centre avec OP pour rayon et la tangente à ce cercle qui est précisément PP'.

9. La même proposition s'étend aux courbes à double courbure. Si en un point M d'une courbe à double courbure on mène une tangente à cette courbe, la distance de cette tangente a un point M', situé sur la même courbe et infiniment voisin de