LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

M, est infiniment petite du second ordre, lorsque MM' est considéré comme infiniment petit principal.

Il est clair, en effet, que la distance d'un point à une droite est de même ordre que celle de la projection du point à celle de la droite sur un plan choisi arbitrairement. On peut donc substituer à la courbe donnée sa projection sur un plan sans altérer Tordre de la distance qui nous occupe, et par suite, en vertu du théorème relatif aux courbes planes, cette distance est du second ordre.

10. La géométrie nous fournit également des exemples simples d'infiniment petits d'un ordre supérieur au second.

Considérons une courbe plane quelconque et sa tangente en un point M. Si sur cette tangente on porte une longueur infiniment petite MT, et qu'on élève en T une perpendiculaire TM', terminée en M" sur la courbe, TM' sera (8) un infiniment petit du second ordre. Si donc on pose MT = A, on aura TM' = Kh2, K ayant une limite finie lorsque h tend vers zéro. Considérons actuellement un cercle de rayon R,

tangent en M à la courbe donnée et situé du même côté qu'elle par rapport à la tangente. Prolongeons la ligne TM' jusqu'à ce qu'elle rencontre le cercle en M"; on aura, par la propriété connue du cercle,

TM' = MT'

aR — TM"""aR — TM"' et par suite

M'M":=TM"-TM' = A' (^-K).

Si donc on détermine R de telle sorte que ( r tm" "~K ) a** Pour ^m^e 2^ro» c'est-à-dire, en nommant K, la limite de K, si l'on prend R = -^-» la distance M'M"

sera un infiniment petit d'un ordre supérieur au second.

Il existe donc, en chaque point d'une courbe plane, un cercle tangent qui dans le voisinage du point de contact est infiniment plus voisin de la courbe que celle-ci ne l'est de la tangente. Ce cercle, qui joue un grand rôle dans l'étude des courbes, se nomme cercle osculateur.

Remarque. — Les théorèmes précédents peuvent être en défaut pour des points

exceptionnels; c'est ainsi que le rapport — — J — i\x)9 jont ja limite ne peut pas

être constamment nulle, peut tendre vers zéro pour une valeur particulière de la

variable.

Substitution des infiniment petits.

11. Lorsqu'on emploie les infiniment petits, c'est presque toujours comme intermédiaires, et ils figurent dans les raisonnements, soit par leurs rapports qui ont des limites finies, soit par la somme d'un nombre indéfiniment croissant d'entre eux. Lorsque Ton a ainsi en vue la recherche de la limite d'un rapport ou de celle d'une somme, on peut souvent simplifier la question à l'aide du principe suivant :

Dans la recherche de la limite d'un rapport ou de ta limite dune somme, on peut remplacer un infiniment petit par un autre dont te rapport au premier ait pour limite F unité.

Soient, en effet, a et /3 deux infiniment petits, et a', /5' deux autres, tels que

lim -7 = 1, lim~ = i,