LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

leurs de <p deviennent égales entre elles, la quantité désignée par A serait infiniment petite, et le raisonnement précédent serait en défaut. La valeur de la fonction 9 relative au pointB peut donc varier pour une même valeur initiale correspondant au point A, lorsque la courbe qui unit ces deux points et par laquelle on représente les valeurs intermédiaires de la variable, se déforme infiniment peu en franchissant un des points pour lesquels deux valeurs de la fonction ç deviennent égales entre elles.

375. Pour éclairer ce qui précède par un exemple, considérons la fonction

qui peut avoir, pour chaque point, deux valeurs égales et de signes contraires.. Donnons-nous, pour x = 1 , y = o,

Cette hypothèse détermine la fonction pour des valeurs quelconques de x et de y supposées reliées aux valeurs initiales x = i, y = o, par une série continue de valeurs intermédiaires parmi lesquelles ne figurent pas x = o, y = o9 pour lesquelles les deux valeurs de la fonction sont nulles toutes deux et par conséquent égales. Si Ton considère un point mobile partant du point A, dont les coordonnées sont w = i9y=o9 et revenant au même point après avoir décrit une courbe continue, et que Ton attribue à x et à y les valeurs correspondantes aux coordonnées des points de cette courbe, en revenant aux valeurs primitives x0 y09 la fonction reprendra sa valeur initiale si la courbe ne contient pas dans son intérieur l'origine des coordonnées ; on pourra en effet, dans ce cas, en conservant les deux mêmes extrémités réunies en A, la réduire à zéro par une déformation continue, sans qu'elle ait à franchir ce point critique, et par conséquent sans altération de la valeur finale de <p. Il en sera autrement si l'origine est située dans l'intérieur de la courbe. Supposons par exemple que, partant du point dont les coordonnées sont ae=i9y=o9 on se déplace sur le cercle du rayon unité décrit de l'origine comme centre, et soit <p l'angle décrit sur ce cercle à partir du point initial, dans le sens de la rotation qu'il faudrait imprimer à l'axe des X positifs pour le coucher sur celui des Y positifs, on aura

*-+-W— * = cos<p-h\/— 1 sin<p, \jx-\-y^—i =±(cos?--f-/=^"sin-j-

Lorsque <p est nul, nous adoptons par convention la valeur -+- i et par conséquent le signe -H en dehors de la parenthèse. La continuité exige dès lors que l'on prenne toujours le signe -h, car, la parenthèse n'étant jamais nulle, le changement du signe + en signe — entraînerait un changement brusque dans la valeur de la

37li PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fonction. Lors donc qu'après avoir fait le tour de cercle on aura ç = 2 rc, on aura

VcOS27rH- v/-h ! Siïl27r = VrT=-h(c0S7rH- ^— I sinir) = — I.

Ainsi donc, quoiqu'on soit revenu au point de départ, la fonction n'a pas repris

sa valeur primitive qui était -+- 1 . La fonction z2 est donc essentiellement ambiguë. Lorsque, par un choix arbitraire, on écarte Tune des valeurs correspondant à une valeur donnée de z, on la voit reparaître comme conséquence de la continuité.