LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

de u qui correspond au point extrême M, en se rattachant par une série continue de valeurs intermédiaires à la valeur initiale u = \ que Ton adopte pour le point 0. Posons

i -h-ff-h/y' — ' = P' (cosw-f-v^ — i sinw),

p' et où sont les coordonnées polaires du point M, lorsque Ton prend pour pôle le point A, et OX pour axe, l'angle w pouvant, bien entendu, être augmenté ou diminué d'un multiple de iti. On aura

u=zp,m (cosw-h V — i sinw)" = p'm (cosmw-hy^ — i sin mw),

et il faut décider quelle valeur, dans cette expression, doit recevoir l'angle w. Or, en supposant z = o, on a, par convention, u = i . On doit prendre, par conséquent, p' = i , &> = o; z changeant d'une manière continue, p' et o> doivent varier aussi d'une manière continue, et il est évident que le point M ne sortant pas du cercle

de rayon unité décrit du point 0 comme centre, w reste compris entre — - et -+- -,

ce qui dissipe toute ambiguïté.

Si le point auquel correspond la valeur de z pouvait se mouvoir librement sur le plan, la valeur correspondante de u variant d'une manière continue, pourrait

n'être plus comprise entre — - et + -> et tout en assignant à u la valeur -h i

comme correspondant à la valeur initiale z = o, on devrait pour chaque valeur de z, y compris même z = o considéré comme valeur finale, regarder u comme indéterminé. U est clair en effet que dans l'expression

(i -h^Jm = p'm(cosmw-h v^ — I sinmw), o) = o correspondant, par convention, à la valeur initiale z = o, si le point du plan auquel correspond la valeur de z tourne autour du point A, o> qui est l'angle formé par le rayon vecteur AM avec l'axe AO recevra, à chaque révolution, un accroissement égal à 27T. Si, par exemple, le chemin suivi pour aller de 0 en M est celui que représente la figure

la continuité exige que Ton prenne o égal à l'angle MAO augmenté de t\n, et l'on I. 48

:i78 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

aura, dans cette hypothèse, en posant MAO = a,

// = (i -\-z)m=ç>'m[cos (ma -f- 4 mn) -+- \/ — i sin(/wa -f- 4 w*)].

Si le point mobile revient en 0 après avoir fait une révolution autour de A, on aura

// = COS2/W7T 4- ^ — ! Sin2/7î*r,

et l'hypothèse d'une valeur unique, u = -+- i, correspondant à z = o, est incompatible, par conséquent, avec la continuité de la fonction qui est essentiellement ambiguë si Ton ne limite pas, comme nous l'avions fait d'abord, les valeurs que peut prendre z.