LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

le nombre entier k étant tel que le premier membre de la seconde équation soit oompris entre — - et -h -• Si 9 est compris lui-même entre — n et -h rc, on doit prendre £=0, et l'on a

On voit que si 9 augmente d'une manière continue, la série qui forme le second membre change brusquement au moment où l'on a 9 = rc.et la somme passe d'une

valeur infiniment peu différente de-> à une valeur un peu supérieure à — -- D'après

ce qui a été dit (264), les dérivées des termes de la série doivent, pour cette valeur

de 9, avoir une somme infinie; c'est ce que l'on vérifie aisément, car ces dérivées

se réduisent, pour 9 = n, à

et leur somme est effectivement infinie. Si dans les formules (4) on suppose p = — 1, elles se réduisent à

I , , . % I / C0S2© cos3<p \

- 14sin»-? = - ^cosT-h— 5J-I + — 3-Ï+... y

/ 1 \ / . sin2« sin3o \

arctang ( — cot -<pj =. — ( sin<H — ïh i-|-... j;

Tare dont la tangente est — cot- 9, est *• — - -h £tt, k étant un nombre entier déterminé, puisque l'on sait que l'arc est compris entre — - et -h -• Si 9 est compris

entre o et 2tt, il faut prendre k = o, et l'on a par conséquent, pour de telles valeurs dey,

(o) ^- = sin<x>H — sin2©-f- = sin3©H-. . . ,

formule déjà obtenue (301 ) par un procédé très-différent.

383. Les formules (6) et (8) étant vraies toutes deux lorsque 9 est compris entre o et n, on peut les ajouter, et l'on en déduit la formule remarquable

, . 7t / . sin3© sin5© \

qui a lieu pour les valeurs de 9 comprises entre o et n. Si l'on change 9 en — 9, le second membre change évidemment de signe sans

changer de valeur et devient égal à — -> et comme il ne change pas lorsque 9

sin3© sin5»

est égale à dt j* le signe -h correspondant au cas où sin<p est positif et le signe — au cas où il est négatif. Lorsque <p est un multiple de rr, tous les termes deviennent nuls et la formule est en défaut. Si l'on suppose y = j> on a

formule connue de Newton.

Développement de (i -+-z)"\

384. La fonction (i -4- z)m est développable en série convergente lorsque z est réel et moindre que l'unité en valeur absolue. On a alors

Admettons ici comme exacte pour les valeurs imaginaires de z, cette série, qui, bien entendu, sera démontrée plus tard, et nous allons en déduire des conséquences remarquables. D'abord, d'après les explications qui ont été données (378), il ne faut attribuer à z aucune valeur dont le module surpasse l'unité ; de plus la fonction ( i -4-s)m, représentée par la série, étant continue et égale à l'unité pour z = o, ne peut prendre que celle des valeurs de (i-f-z)m qui a été calculée (376). Si Ton. pose

z = p(cosy-hv^— « sin?), p étant plus petit que l'unité, la valeur de (î -t- z)m qu'il faut adopter, est

p'" ( cos/nw -h /— "T sinmw) où

p' = Sj \ H-p'-+-2pC0S<p,

psin<p

tango> = — *- l — >

i-hpcos©

p' étant positif, et w compris entre — - et h- — • Si l'on suppose p = i, on a

p' = y4cos»if =±(jCOsif).

tangw= tang-?,