LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
, par suite,
étant un nombre entier, déterminé par la condition que w soit compris entre
ir A w - - Ct 4- —
On a donc
(2) ( i/4cos' - <p j cos/w(^<p— /iTrW^^Tsinm (^ y — /r*M
= i -hmcosyH cos2«pH-. .-h v — ' suif H ; sm2(j>-+- . . . h
- 9 — kn étant compris entre — - et -+- -» et f 4/4 cos' - <p j étant réel et positif. En
égalant les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres de l'équation précédente, on a
f l~, 7*~Y fl 1 \ m(m—\)
\ \/4C0S "? ) C0S m ("? "*) =« + 'WCOS^H C0S2ç
-l LL. 'cos3i
(i/4rosî ~?) sin/wf-y — /itt) r=/?isin?-
sin3q
ur
1.2.3 et, lorsque 9 est donné, ces équations ne présentent, d'après ce qui précède, aucune
ambiguïté, car -f — kn étant compris entre — - et h- -, - est compris entre kn — - et kn -+- -» ce qui, pour chaque valeur de 9, détermine le nombre entier k. Si l'on veut y remplacer f t/lcos'-?j, qui est toujours positif, par la vale acos - 9, il faut le faire précéder du signe ±..
Ajoutons les deux équations (3) après avoir multiplié la première par cosa et la seconde parsina, a étant un angle arbitraire, nous aurons
l±2cos -f j cos( a — m~-\-mkrA = cosa -+■ m 00s; a — y) H cos(x — 2?)-+-
Si l'on pose 9 = 20-, on a
(4)(±2COSJ7)mc:os(3t — rnj: -h /?i A ttj= cosa -+-/;i cos(x — 2jt;H - — cos(a — \x)+. . .,
± acosx étant toujours pris positivement. Si Ton suppose a = mx, la formule (4; devient
(5) (±2cosxV"cos/wfrir= cosm.r-i-mcos(m — 2)r h cos( /11— t4)«îp-K« ••>
et si Ton suppose a = mx -+- -? il vient
ml m — i \
(6) (±icosx)m sinmkn = sinmx-hmsin(m — 2)j?h - sin(/w — ^)x -K . .,
x étant compris entre kn et kn-h-i dans les premiers membres des formules (3 et 6) pour que ±i 2C0S# soit positif, il faut adopter le signe -h si i est pair et le signe — s'il est impair.
Si dans l'équation (4) on pose a = mx', x= x' — -> et que pour la symétrie des formules, on change dans le résultat x' et x, il vient
(7)(±2sinj;)1"cosm lk-h- ~\n = cosmx — mcosjm — i)x-\ cos(m — H)x-\-...,
et si Ton fait a = mx' > x = x' ? en changeant toujours #* en x dans le résultat,
(8) (±2s\nx)m s'inmlh-)- -\ir = s\nmx — msin(/w -2)xH ' sin(m — 4)*-+-....
Dans ces formules x est un arc arbitraire compris entre kn et (k-h i) n, et k un nombre entier quelconque. ( ± i sina?) doit être positif, et l'on doit par conséquent prendre le signe -+- quand k est pair et le signe — quand il est impair. Euler et Lagrange avaient donné la formule
(9) (2 cosx)" = cosmx-f- mcos(m — 2) x-\-.. . ,
que l'on avait acceptée sans discussion. Poisson fut le premier à signaler l'impossibilité de l'équation (9) en remarquant que l'hypothèse m = ^> x = rc, la rend
manifestement inexacte; le premier membre devient en effet — y 2, et le second se réduit à
tr I 7r
x + xCOS-r , - ^
cos , -h 0 cos ô H \ . cos ^ -k . . ,
cos ^ est égal à -, et la série
représentant (1 -h i)3> c'est-à-dire \/2, cette série est égale à - \fa, et les deux
membres de l'équation d'Euler sont par conséquent inégaux. Mais à cette objection sans réplique Poisson ne joignit pas l'énoncé de la formule exacte, qui fut donnée pour la première fois par Poinsot.
