COS^TT

c'est-à-dire à - y/ 2 , et l'on voit qu'il est égal au second.

Il faut bien remarquer que la série

cos mx -h m cos (m — n)x~\ -cos (m — /L)x-h. . .

est une fonction discontinue dex, et qu'elle change brusquement de valeur lorsque x croissant d'une manière continue passe par une valeur de la forme

£k+ -> car à ce moment il faut, dans le premier membre, augmenter l'entier k

d'une unité.

Si l'on supposer précisément égal k *7r-h -» tous les cosinus qui figurent dans

la série deviennent alternativement égaux à cos/wa? et à — cos/twc, et la série devient

[mlm — 1) m(m— i)[m — 2) 1

série convergente et égale à zéro si m est positif et divergente si m est négatif.

L'équation (5) peut donc être regardée comme exacte, car la valeur attribuée à x donne coso? = o; (coso?)w est donc nul si m est positif, et infini s'il est négatif.

385. Si dans les formules (5), (6), (7) et (8) du paragraphe précédent on attribue à m une valeur entière, les seconds membres se réduisent à un nombre limité de termes. Considérons la première

(1) (± 2 cos x Y cos mk n = cosmx -+- m cos( m — i)x -\ — "Hll cos(m — ^)x-\-

Si l'on suppose que m y désigne un nombre entier pair, a/*, cosmkn est égal à l'unité, et en supprimant dans le second nombre les termes qui sont nuls, et remarquant que le signe ±: placé dans le premier membre est sans influence sur sa valeur, on a

(2 cos*)2* = cosinx -+- 2/icos(2/i — i)x-h 2nl2/I l> C0S(2/1 — /{)x-h. . .

-h "(*n~l)'''(n + 1'+... + aiicos[»n — (4»— i)g] + cos(an — 4n)*, 1 .2. . n L

et comme les termes également distants des extrêmes sont égaux

(2 COS-r)"' = 2C0S2/lJT-i-2(2/l)C0S('2/l 2)x -}- 1 * '- COS ( 2/1 4 ) * "+- • . .

le dernier terme étant le seul qui, ne se trouvant qu'une fois dans l'équation (2), ne doit pas être doublé.

Si dans la formule (5) on remplace m par un nombre entier impair (2/1-f-i), cosmA-7rest égal à -h 1 , si k est pair, et à — 1 s'il est impair; mais dans le premier cas cos x est positif et il faut prendre le signe +- dans la parenthèse du premier membre; dans le second il est négatif et il faut adopter le signe — : le premier membre se réduit donc toujours à (acosa?)9,w"\ et l'on a, en supprimant les termes nuls dans le second membre et remarquant que les termes également distants des extrêmes sont égaux,

(2cos<r)*,"H = 2C0s(2/i + 1)1 + 2(2/1+1) cos (2/1 — ilj + î - — cos (an — 3)x-f-...

(2/1 -h 1)2/1. . An -+-2)

-+- 2-^ '- '- QOSX.

1 .2. . .n De même en supposant m entier dans les formules (7 ) et (8), on trouvera

2"«(— i)"sin2"ar= 2C0S2/IJC — 2.2/1 cos( 2/1 — i)x 4- 2. — * '- cos (2/1 — 4)-r- ••

, , 2/1(2/1 — 1) . . . In -+- 1)

2*»+'( — î^sin^'j: = 2sin(2/iH-i)x — 2(2/1-+- i)sin(ait — i).r-4-. . .

-h — i)".2v - -sin or.

Ces formules étant souvent utiles, nous donnons ici les valeurs numériques des coefficients pour les cas les plus simples ; on a :

2 COS'-T = C0S2.T -f- I ,

4 cos3 x = cos 3 x -f- 3 cos x,

8cos4.r = cos^x -\- ^ coszx -h 3,

16 cos5 x = cos5x-h 5cos3jr-h to cos.r, 32 cosfljr = cos6.r-}-6cos4-r -H i5 cos 2 x -h 10, 64 cos' .r = COS7X-4- 7 cos5jr -f- 21 cos3jr-f- 35 cosx, 1 28 cos* x = cos8x -h 8 cosGjc -f- 28 cos4 x -f- 56 cos a.r -h 35,

— 2Sin2JT= C0S2X— 1,

— 4 sinJ.r = sin 3 x — 3 sin r,

-h 8sin*x = cos4^ — 4 cos2jr-f- 3,

i6sinsjr= sin5 x — 5 sin 3x -+- 10 sin .r, — 32sinfljr = cos6jr — 6cos4^f -f- i5 cosar — 10, — 64sin'x=sin7jr — 7sin5.r-f-2i sin3.r — 35sin.r, 1 28 sin8 x = cos Sx — 8cos6a: -h 28 cos4 x — 56 cos 2 x.