DÉVELOPPEMENT D'UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES

Extension du théorème de Taylor h une fonction de deux variables.

391. Lorsque dans une fonction de deux variables <p(x, y), on remplace x par x-hh et y pary-f-£, le résultat de cette substitution <p (x-hh, y + k) peut être développé en série ordonnée suivant les puissances de h et de k et leurs produits deux à deux. On peut en effet développer d'abord y(x-\- h, y) en série ordonnée suivant les puissances de h, puis dans le résultat changer y en y -h k et développer chacun des coefficients en série ordonnée suivant les puissances de k; on obtiendra ainsi le développement de <p {x -h h, y-hk), et le théorème de Taylor, borné au cas d'une seule variable, permettra d'effectuer tous les calculs. Telle est la marche suivie par Lagrange dans la théorie des fonctions, et dont il déduit aisément l'expression du terme généraldu développement; mais un artifice imaginé par Cauchy permet de l'obtenir plus rapidement en fournissant en même temps une expression plus simple du reste.

Remplaçons <p(x-t- h, y-hk) par <p(x-h ht, y -h kt) et appliquons à cette dernière fonction le théorème de Maclaurin pour la développer suivant les puissances de t; en faisant dans le résultat /.= i, on obtiendra le développement cherché.

En posant

^{x-h/it, y-hkt) = Y{t), on a (273)

(i)y[x + fit, r-hA7) = F(o)-hF'(o)/-hF,,(o) — + ---H *"~'(o) /— +F"(0/) —

Pour calculer les ternies de ce développement, formons l'expression générale de P(f)- On a

Or, si Ton attribue à t des accroissements successifs égaux entre eux, x -h ht et y-\-kt, considérés comme deux variables distinctes, croîtront aussi par degrés égaux, et la formule donnée (162) pour représenter la différentielle nf'me d'une fonction de deux variables, sera applicable au calcul derf"F(/). Cette formule suppose, en effet, que deux variables quelconques, u et v9 reçoivent simultanément des accroissements constants et quelconques du et dv\ or, en supposant ici x-hht — u;

.Wi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

392. D'après les explications précédentes, on a, en faisant /= i dans la formule ( i ) du numéro précédent,

"•"i.n.3 \Jx>" ""S^-" "^"dïd?"" ^df

^1.2. 3.. .(« — i )[//*-' n +l" ''dx'-'dy h+--+dy-'' j

i .*>. . 3 — w \ r/jr </r Jxz=x-1-9h

le dernier terme étant ce que devient le (n -4- i)'*m' terme de la série, lorsque, après l'avoir régulièrement formé, on y remplace x par x -h 6 h et y par y -t- 54\ 5 étant un nombre plus petit que l'unité.

Lorsque, pour des valeurs croissantes de//, le dernier terme du second membre tend vers zéro, il est permis de remplacer y(ar -h A, y H- t) par une série convergente indéfinie. On peut remarquer que cela aura toujours lieu si, lorsqu'on remplace x par x -+- 6 h et y par y -f- Oh, aucune des dérivées de la fonction ne peut devenir infinie. Si, en effet, toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du terme complémentaire sont plus petites en valeur absolue qu'un nombre H, ce terme est évidemment moindre que

expression qui tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment.

393. Si, dans le développement que l'on vient de trouver, on remplace h par dx et h par dy, l'ensemble des termes de degré p par rapport à dx et à dy représente <1F ?, et l'on a

»■> -h//.r, r-h </>■) = yix* v')-w/<f-H - rf]H 7</-v — . . .H ^

on voit que l'expression de l'accroissement d'une fonction de deux variables ne diffère pas de celle qui a été trouvée pour l'accroissement d'une fonction d'une seule variable.

Si dx et dy sont infiniment petits du premier ordre, chaque terme de ce développement est infiniment petit par rapport au précédent, et l'erreur commise en s'arrétant à un terme d'ordre n est infiniment petit d'ordre n -+- i .