LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. :i<m
Extension de la forma le de La grange aux fonctions de deux variables. -
397. Soient u et v deux fonctions des variables x et y, définies par les équations
simultanées
Proposons-nous de développer une fonction donnée de u et de v en série ordonnée suivant les puissances de x et de j, et leurs produits deux à deux. Soit z = F(u9v) la fonction donnée, on a (3tt)
i f /rfnz\ , d»z [dnz\ 1
+ ,.a.3...»L*"(ap)t+,,*-^a5F^+- • -HrUr)J-+- • • '
et pour connaître la série qui représente z, il faut calculer les valeurs que prennent les diverses dérivées dèz par rapport aux variables x et y, lorsqu'on y suppose x et y égaux a zéro. Pour cela nous ferons usage d'un artifice semblable à celui qui a été employé (311) dans le cas d'une fonction d'une seule variable, et qui consistera ici à exprimer les dérivées par rapport à x et à y en fonction de dérivés par rapport aux variables a et b, dans lesquelles les hypothèses x = o, y = o pourront être introduites avant les opérations et reviendront simplement, comme le montrent les équations ( i ), à faire u = a et v = b, en sorte que les différenciations s'effectueront ensuite sur des fonctions explicites.
En différentiant les équations (i) par rapport à x, puis par rapport à a, on a
du
fdf du dy dv\ \du dx dv dxj
**v l^LéH dty dv\ dx"7'^ \du dx ~iïv dx]
du /rf<p du dy dv \
da \du da dv da}
dv (d$ du dty dv\
da ~~J \dûdâ ~dv da/
et la forme de ces équations montre, sans qu'il soit nécessaire de les résoudre, que
Ton a entre les dérivées ^> ^> -A -4-> les relations
dx da dx da
du , . du
dv . . dv
Tx=^v)Ja
Si donc z désigne une fonction quelconque de u et de v, on a
dz dz du dz dv
dx du dx du dx "
dz __ dz du dz dv da du da dv du
<»t, par conséquent,
On démontrera de même la relation-
/ ' > (lz i r \ dz
Les équations ( 3 ) et (4 ) résolvent, pour les dérivées du premier ordre, le problème que nous avons énoncé; elles font connaître l'expression des dérivées par rapport a .r et à y en fonction des dérivées par rapport à a et ai; si l'on y suppose #=0,^=0, elles donnent, en supposant z = F(w, v) ,
' dz\ . . d¥{a, b)
( az \ . .at[a,
(dï)r*{a'b)-in;
db Pour calculer les dérivées d'ordre supérieur, nous ferons usage des relations
ffit""1 ''•£]= r\f["- "]%\
qui ont lieu quelle que soit la fonction/Y u, c). En effectuant, en effet, les diflerontiations indiquées dans la première de ces équations, elle devient
/ dfdu df dv \ du f( d9u __ / dfdu df dv\ du f , d'u
\dïtdx~*~ dïdx) dTi'i'J{U9i/}dali^'- [du da + dvdal dï^~J["' '* 'J dxda
ce qui, en supprimant les termes communs, se réduit à
dv du du dv
dx da dx da'
conséquence évidente des équations (a).
La seconde des équations (5) se véçifie de la même manière.
