LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

il " 7 n * 7

Nous pouvons maintenant transformer les dérivées de la fovne -r-^ -j—,; On a

d'z d ( dz\ d T , dzl

dP==d^\dj)=d^l^U'v)d^r

et par conséquent, d'après la formule (5),

du d V . .dzl d [ . .dzl

dï = Ta\*{u'v)Tx\ = Ta V{u'v) Tal- On en déduit d'z d d\ . .dzl d d [ . .dzl d' [ . .dzl d'[ , dzl

et l'on trouvera, en suivant la même marche,

(6) dï = da^>V{U'V]Ta\'

on aura de même

Si dans ces formules on fait x = o, y=o, elles deviennent, en supposant toujours z = Y{u, v),

/d'z\ d-> [ k^dF(a,b)-\ [dT-)rda^l«a>br-da—\> (8)

(d'z\ d-' [.. k„dF(a,b)-]

[dr)rdb^V{a'b)—db-\-

Il reste à calculer les dérivées de la forme ( , e z. \ • On a

d'z d fdz\ d T , ,</z~| de(u,v)dz , % rf'a

df(u, v)dz , d f <fe~|

par conséquent,

! * se trouve ainsi*exprimé en fonction de dérivées prises par rapport à a et à h,

et pour y supposer x = o%y=o9 il suffit de remplacer, avant les différentiations,

u para, et v par b.

d"z Considérons actuellement la dérivée -.-4-- On a trouvé

iIxp ar*

dpz *-• r , dzl

Il faut prendre q fois la dérivée de cette expression par rapport à y. Or si Ton

pose

tt, = /i-Kr[f(Mi, vt)]P,

i,t = l>-hy+{ul9vl)t et zt — F(i/It r, ;, on aura, d'après ce qui précède,

et comme, pour x=o,u< et ^ deviennent, quel que soit/, égaux à a et à r et par suite :, à :, on a

(d pz\ __ *-■ r/ds,\ ] [dxpj-diï^* IA ''*/J'

l'indice zéro qui affecte les dérivées ^> V-^> se rapportant à la variable a que

Ton suppose égale à zéro. Les variables x et y étant indépendantes, il est indifférent de faire l'hypothèse x — o avant ou après la différentiation par rapport a y9 et pour

/ dn z \ calculer ( . p , %tj ) ; nous pouvons par conséquent différentier y fois l'expression do

par rapporta v, et faire ensuite/ = <>. On a donc

/ d"z \ __ dP~' di [(d±\ 1 \dxPdyi)~ daP-' dyi LWr/.J

Les différentiations par rapport à a? et à v indiquées dans le second membre peuvent être interverties, pourvu que l'hypothèse a? = one soit introduite que dans

le résultat final. Pour calculer en effet -.-— ^ et y faire ensuite x = o, y = of il est

permis, comme on vient de le remarquer, de différentier par rapport à .r et de faire x = o avant d'effectuer les différentiations par rapport àv, On a donc

/ dnz \ __ dP~l d /diz>\ \dxPdyy, ~~~ daP~l dx\dy*)'