LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

x et y devant être supposés nuls dans le second membre après les opérations effectuées.

En appliquant à la fonction z{ les résultats généraux obtenus pour la fonction z, on a

Au lieu de différentier cette expression par rapport à a? et de faire dans le résultat x = ofy = o, il est évidemment permis d'y supposer y = o avant d'effectuer la différentiation; mais si l'on pose

(12) t'» = £-l->i>(M*, fa)f>

i*2 et v2 se confondant avec u, et t>, quand on suppose v = o, le produit

+(«.1 ''■J9^' lorsqu'on y suppose y = o, peut être remplacé par -^-f» et Ton a enfin

\dxPdri)o~~ daP~* dx dbi~x \dy ) ~ rfof-'rfftf-» \dxdy)'

z% étant ce qui devient z lorsque u et v sont remplacés par les valeurs u2 et v2 défi- " nies par les équations ( ia). Ces équations étant de même forme que la proposée,

-. *? se déduira delà formule (9), dans laquelle f (w, v) etty(u, v) seront respectivement remplacés par 9 (*/, vf9 ty (u, vf.

Démonstration de Jacobi.

398. Le résultat précédent obtenu pour la première fois par Laplace a été démontré par. Jacobi par des considérations analogues à celles qui ont été exposées (314).

La démonstration de Jacobi repose sur l'identification de deux développements d'une même fonction. Cette identification, ainsi qu'on l'a déjà dit, n'est pas permise sans restriction et suppose des conditions à l'examen desquelles l'illustre auteur ne s'est pas appliqué. La démonstration que nous allons faire connaître laisse donc, malgré sa grande élégance, beaucoup à désirer du côté de la rigueur.

Jacobi remarque d'abord que /(#,/) et <p(x, y) étant deux fonctions de x et dej

développables suivant les puissances positives ou négatives des variables, l'expression

df dy df d y

dx dy dy dx

qu'il a nommée (71) le déterminant du système des deux fonctions, ne contient jamais dans son développement de terme en — : On a, en effet,

xy

V<h Vd^=±/<tf\jl(df\ dx dy dy dx dy \ dx) dx \ dy)

Le développement du premier terme du second membre ne contient pas (314) de

terme en -» celui du second terme ne contient pas de terme en -•, aucun des deux y x

ne contient donc de terme en — » et il en est par conséquent de même de leur dif-

xy

férence.

L'expression

C!L ^1 — ^L lil dx dr dy dx

partage la même propriété, quels que soient les nombres/? et q9 pourvu que l'un des deux au moins diffère de zéro.

Si Ton pose en effet

l'expression (2) est égale à

~îr<-fx'

dfl<h± df* ^?i

dx dy dy dx

et le théorème lui est évidemment applicable.

Lorsque q = o, la démonstration doit être modifiée, mais la conclusion subsiste. On a en effet

(3\ ' (dLlii-iL(lï\ ——LiL[i-'!x)-L-- — \ itL )

f?p+l \dx dy dy dx) p dy \ ? f ) p dx\ f ^ / '

Or -y et -yr peuvent se développer en séries ordonnées suivant les puissances des variables.