LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Soit r, la plus plus grande en valeur absolue des quantités §,, 6a,..., tn (*3 est infiniment petit), il est clair que la différence

P,"hp2-h ... -+■ P„— («.+ «,... +«.)

est moindre que

Or V3 tend vers zéro, et le second facteur a par hypothèse une limite finie, en sorte que les deux sommes (A) et (B) ont même limite.

12. Pour que deux infiniment petits a et |3 puissent être substitués l'un à l'autre, il suffit, d'après ce qui précède, que la limite du rapport -soit l'unité, en d'autres termes, il suffit que Ton ait

s étant infiniment petit, ou, ce qui revient au même,

c'est-à-dire que la différence ]3 — a soit infiniment petite par rapport à *. Le théorème (11 ) peut donc être énoncé comme il suit :

Deux infiniment petits a et |3 peuvent être substitués l'un à l'autre, et Ion peut négliger leur différence, soit dans la recherche d'une limite de rapport, soit dans celle d'une limite de somme, pourvu que cette différence soit infiniment petite par rapport à l'un d'eux.

Ce théorème, quelle que soit la forme que l'on donne à son énoncé, est d'un grand usage dans le calcul infinitésimal.

Emploi des infiniment petits dans la solution de quelques problèmes. Détermination de la tangente à quelques courbes.

13. Nous montrerons immédiatement l'utilité des infiniment petits dans la solution de plusieurs problèmes de géométrie, et nous déterminerons d'abord la tangente à quelques courbes.

Pour déterminer en un point la tangente a une courbe, il faut, comme on sait, joindre le point de contact donné à un point voisin situé sur la même courbe, et chercher la limite de la direction ainsi définie lorsque le second point se rapproche indéfiniment du premier : en d'autres termes, et plus brièvement, il faut joindre le point de contact donné au point infiniment voisin de la courbe, l'expression infiniment voisin exprimant suffisamment le rapprochement indéfini de deux points considérés.

Le théorème suivant est souvent fort utile pour la détermination des tangentes.

Si l'on considère un point M d'une courbe et un point M1 situé sur la même courbe à une distance infiniment petite du premier ordre de M, la direction limite de MM' ne change pas lorsqu'on substitue au point M' un autre point M", situé hors de la courbe, mais à une distance de M' infiniment petite d'ordre supérieur au premier.

Considérons, en effet, le triangle M M' M".

Les côtés de ce triangle étant proportionnels aux sinus des angles opposés, on a

M' M =MM i"4 sui M

Si donc M' M" est, comme on Ta supposé, infiniment petit d'ordre supérieur à MM\ sin M est nécessairement infiniment petit; il en est doue de même de l'angle M, et par suite les deux directions MM', MM", se confondent à la limite, ('/est précisément ce qu'il fallait démontrer.

14. Nous appliquerons le principe précèdent à la solution de quelques problèmes.

Problème Ier. — On abaisse d'un point fixe () des perj>endicidaires sur les iongénies d'une courbe plane ; trouver la tangente à la courbe lieu des pieds de ces perpendiculaires .

Soient OP, OP' les perpendiculaires abaissées du point 0, sur les tangentes en deux points voisins M et M', la ligne PP' est 5^ un infiniment petit de même ordre que MM', que nous regarderons comme rinfiniment petit principal. D'après

cela, dans la détermination de la direction PP\ on peut substituer au point P' un autre point qui en soit f 13 j à une distance infiniment petite du second ordre. Menons donc par le point M une parallèle à la tangente M'P'; cette parallèle coupe OP' en un point F', qui peut être substitué à P', car P'P" est égal à la distance de M à la tangente en M' et est (8) infiniment petit du second ordre. Mais les points P et P" sont situés sur une circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre: