LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES. H

la direction PP" a donc pour limite la tangente à cette circonférence. La tangente cherchée est donc également tangente au cercle qui passe par les points 0, M, P, et la perpendiculaire à la tangente que l'on nomme la normale s'obtiendra par conséquent en joignant le point P au milieu de OM.

On peut remarquer que les rayons vecteurs OM et OP, menés du point 0 aux deux courbes lieux des points M et P, les coupent Tune et l'autre sous des angles OMP et OPT qui sont égaux comme ayant même mesure dans le cercle MPO.

Problème H. — On abaisse d'un point 0 des perpendiculaires sur les tangentes dune courbe plane, et l'on prolonge chaque perpendiculaire OP jusqu'en un point Q, tel que OP . OQ = a2t a étant une constante ; trouver la tangente à la courbe lieu des points Q.

Soient Q et Q' deux points infiniment voisins du lieu considéré et correspondant a deux tangentes MT, M'T dont les points de contact sont M et M'. On sait (5) que la distance QQ' est infiniment petite de même ordre que MM', que nous prendrons pour infiniment petit principal. Menons par le point M, comme dans la solution du problème précédent, une parallèle MP" à la tangente M' F, et nommons P"

le point où cette parallèle coupe OP'. P'P" sera, comme on l'a remarqué (8), infiniment petit du second ordre. Déterminons ensuite un point Q" tel, que OP". OQ" = a2; Q'Q" sera infiniment petit du second ordre, car OQ' est une fonction de OP', et OQ" est la même fonction de OP"; on passe donc de l'une de ces lignes à l'autre en attribuant a la variable OP, dans cette fonction, l'accroissement infiniment petit du second ordre P'P", et la fonction s'accroît alors (2) d'une quantité Q'Q" infiniment petite du même ordre, c'est-à-dire du second.

D'après cela, on peut substituer au point Q' le point Q", et la tangente cherchée est la direction limite de QQ". Or les points P et P" sont situés sur la circonférence de cercle décrite sur OM comme diamètre, et l'on sait qu'en portant sur les cordes d'un cercle issues de l'extrémité d'un diamètre des longueurs inversement proportionnelles à ces cordes elles-mêmes, le lieu des points obtenus est une ligne droite perpendiculaire à ce diamètre. Les points Q et Q" sont donc sur une droite perpendiculaire a OM, et la tangente cherchée est par conséquent ta perpendiculaire

*2 PREMIERE PARTIE. - CAir.IT DIFFÉRENTIEL.

QK, abaissée du point Q sur OM. Les triangles OQK, OMP étant évidemment semblables, on a

()M.UK = OP.i)y = ^.

et il en résulte qu'en opérant sur la courbe lieu des points Qv comme on l'a fait sur la courbe proposée, on reproduirait cette courbe mpme, en sorte que les deux courbes peuvent être regardées comme conjuguées.

Problème III. — Sur les normales à une courbe plane on porte une longueur constante à partir du point ou chaque normale perce la courbe ; trouver la tangente au lieu des points ainsi obtenus.

Soient M et M" deux points infiniment voisins de la courbe donnée, et P, P' les points correspondants que Ton en déduit, de telle sorte que MP, M'P' étant deux

normales, on ait MP = M'P' = /. Joignons MM' et PP et abaissons des points M et P des perpendiculaires MK et PK' sur M'P', on aura

KK' = MP cosv=/ eus v»

<p étant l'angle de deux normales considérées; on en déduit

M'P'— KK' = M'K — P'K' = /,i— ros? =a/siii'*-

L'angle y étant (6) infiniment petit du premier ordre, M'K — P'K' est, d'après cela, infiniment petit du second ordre. Or on a M'K = MM' cos MM'K ; MM' est infiniment petit du premier ordre, l'angle MM'K est infiniment peu différent d*un droit, donc M'K est infiniment petit d'un ordre supérieur au premier; il en est donc de même de P'K', dont la différence avec M'K est du second ordre. Mais on a

P'K' = PP'rosPP'K,

et il faut par conséquent de deux choses Tune, ou que PP soit infiniment petit d'un ordre supérieur au premier, ou que PP'K diffère infiniment peu d'un angle droit. Dans la première hypothèse (5), la courbe se réduit à un point, et par suite la ligne MM' est un cercle de rayon /; dans la seconde hypothèse, qui, dans le cas général, est la seule admissible, l'angle PP'K étant droit à la limite, PP' est perpendiculaire & K' P\ c' est-a-dire k M'P' qui k la limite ne diffère pas de MP, la tangente à la courbe lieu des points P«est par conséquent parallèle k la tangente au point correspon-