LIVRE PREMIER. — ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

■ dant de la courbe proposée, les deux courbes ont donc les mêmes normales, et sont

dites des courbes parallèles.

, Problème IV. — Un angle de grandeur constante est circonscrit à une courbe

donnée ; trouver la tangente à la courbe lieu des positions de son sommet.

Soient P un des points du lieu, M et N les points de contact correspondants des deux tangentes qui s'y rencontrent; P' un second point du lieu infiniment voisin P de P, M' et N' les points de contact qui correspondent à ce second point. Les coor-

p données du point P étant des fonctions déterminées de l'abscisse du point M, les

distance PF et MM' sont (5) des infiniment petits de même ordre; nous les regarni derons comme du premier ordre. Cela posé, menons par les points M et N des b parallèles aux tangentes en M' et N', nous obtiendrons un parallélogramme P"KP'L

dont les côtés sont (8) infiniment petits du second ordre, et Ton pourra (13) substituer à P' le sommet opposé P" de ce parallélogramme. Mais P et P* sont situés sur un segment capable de l'angle P décrit sur MN comme corde, et PP" est à la limite tangente à ce segment, d'où l'on conclut que la courbe cherchée a la même tangente en P que ce segment, lequel est circonscrit au triangle MNP.

Problème V. — Déterminer la tangente à la cycloïde.

La cycloïde est une courbe fort remarquable; nous la prendrons souvent pour exemple de l'application des méthodes générales. Commençons par donner sa définition.

La cycloïde est engendrée par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une de ses tangentes supposée fixe (*).

Soient OM une position du cercle générateur, et M la position du point qui décrit

(*) On dit qu'une courbe mobile roule sans glisser sur une ligne Axe, lorsque cette courbe se déplace en restant constamment tangente à la ligne fixe qu'elle vient toucher par ses différents points et suivant une loi telle, que chaque arc de courbe mobile soit égal en longueur à Tare de la ligne fixe sur lequel ses points se sont successivement appliqués. Il résulte de raisons physiques qui ne seraient pas ici à leur place, qu'une roue de voiture roule à très-peu près sans glisser sur le sol, et que, celui-ci étant rectiligne, la courbe décrite par un point de la roue est une cycloïde.

la eycloïde. Considérons le cercle dans une position voisine O'M', le point M étant transporté en M' et Tare 01 s'étant appliqué sur la droite d'égale longueur 00'; de telle sorte que 00' soit égal à la différence O'M' — OM.

Le point I de la circonférence MOI devant, par suite du mouvement, venir se placer en 0', pour servir de point de contact à la droite et au cercle; on peut faire passer la circonférence MO de sa position actuelle k la position nouvelle O'M', à l'aide de trois mouvements successifs.

i° Une rotation autour du point de contact actuel 0, et dont l'angle égal à 100' soit tel, que le point I vienne se placer en Y sur la droite 00'.

2° Par suite de ce premier mouvement, la circonférence mobile estjdevenue sécante à la droite AOO' sur laquelle elle détache la corde 01' ; une rotation égale à la première et effectuée autour du point Y la rendra de nouveau tangente à cette droite.

3° Pour amener enfin la circonférence mobile dans la position désirée, il suffit de faire parcourir à tous les points des droites égales et parallèles à l'O', de manière à amener en 0' le point primitivement placé en l, qui sera alors évidemment le point de contact de la droite et du cercle.

Le point M pour venir occuper la position M', qui est celle d'un point voisin sur la eycloïde, aura donc parcouru deux arcs de cercle de même angle ayant respectivement leurs centres en 0 et en Y et une droite égale et parallèle à l'O'.

On voit tout d'abord que cette dernière droite l'O', égale à la différence entre un arc infiniment petit et sa corde, est infiniment petite du troisième ordre (*), et n'influe pas par conséquent (13) sur la direction limite de MM'.

Quant aux deux arcs de cercle , leurs normales étant dirigées vers les points infiniment voisins 0 et I\ l'angle sous lequel ils se réunissent tend vers zéro, et la ligne qui réunit la première extrémité de l'un à la seconde extrémité de l'autre a pour direction limite une perpendiculaire a la normale commune, c' est-a-dire à la ligne MO.

( * ) On démontre, en étudiant la trigonométrie, que la différence entre un arc et son sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc, et la différence entre l'arc et sa corde est double de l'excès de Tare moitié moindre sur le sinus correspondant.