Si dans l'équation

sin*=* (■-?) (-£)('-£)■••

on fait <r = -, on obtient la formule

2 \ 2J/ \ 23.4/ \ ïl.<$}

chaque facteur qui est une différence de carrés peut être remplacé par un produit et Ton a

on en déduit

n 224466 2/1 in

2 1 3 3*55 7 (2A1 — i)'(2/i-hi)

formule célèbre que Wallîs a découverte par un procédé très-différent.

417. On a rattaché depuis longtemps la formule précédente à une formule d

Stirling, qui fait connaître l'expression approchée du produit i .i...x pour de grandes valeurs du nombre entier x.

La formule de Stirling, sur laquelle nous aurons à revenir, entraîne évidemment celle de Wallis; la réciproque a été établie de la manière suivante par M. Serret :

La formule de Wallis donne

* .. ( 2.4.6... 2/i )' (i.a.3...n)ar?..4...(2/i — a)2/tj2

= lim 21" 7— ■ — . •

( I . 2. 3. . . 2/ljJ(2/l+ I )

Si l'on pose

V27T . e~*x * l'équation ( 1 ) équivaut, comme on le vérifie aisément, à

(3) iiin[4^ = I.

Or on peut démontrer directement que Ton a aussi (4) • Mm *£! = «.

et la comparaison des équations (3) et (4) exige évidemment que f (n) ait pour limite l'unité.

Pour prouver l'équation (4), remarquons que l'on a, d'après l'équation (2),

or on a, en désignant par 0' et 0" des nombres compris entre zéro et l'unité,

\ x/ x 2 a*5 # 2 x2 3 ,rs

par conséquent

(*+ 2) , (I4~ ï) = * [x ~ 2T' + 3?) + ï U ~îr») = ' "*" 3P " f? *

ou enfin, 6" étant un troisième membre plus petit que l'unité en valeur absolue,

on en conclut

On déduit de cette formule, en remplaçant successivement x par x + i, a?+ 2,...; q.x^ — i , et désignant par 0", 0*2,..., $!,, des nombres compris entre — i et -m,

Multiplions ces équations membre à membre, en remarquant que la valeur absolue de la somme

est moindre que — . x, c'est-k-dire que - , nous pourrons écrire, en supprimant

tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur du premier membre,

ff(-XX)

Cette équation montre que, x croissant indéfiniment, ^ \ a pour limite l'unité,

y, x ayant aussi pour limite l'unité, le rapport des deux fractions, c'est-à-dire

tf (x), tend aussi vers l'unité.

En d'autres termes, on a, approximativement, pour de grandes valeurs de x,

i . i . 3 . . . x = v^tt <?-* x*~*~ 7 y

l'erreur relative étant d'autant moindre que x est plus grand : c'est le théorème de Stirling.

il8. M. Serrct, en faisant connaître cette démonstration élégante, a montré qu'elle conduit a une série convergente qui représente exactement le logarithme du produit 1.2. 3... a, et dont la formule obtenue équivaut au premier terme. Posons en effet comme précédemment

^2ne~xxx-*-\ on a identiquement

|T(g)=:|-Jl£J— Hî|£+i2 + ...-H ;(* + '») ^i?(x+m + .).

y[X-+-lj y(x-h?.) *(x-h m-hi) TV