LIVRE SECOND. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si m croit indéfiniment, (f>(ac -h m -+- i) tend vers l'unité et son logarithme tend vers zéro ; on a donc

l*(*)=ïf 1 iVnt^

Mais l'équation (a), qui sert de définition à <p{oc), donne

l(i.2.3.. x) = -l27r— jr-+-f jr-l-i ]1* 4- lf(jr),

et, en remarquant que Ton a

»(*+») =i/ LV^

«j>(^-h/i-hi) <?\ x-+-n)

et, par conséquent,

i-7îi*±5-(Jr+lt+i\i(I+^.\I,

on a enfin

Cette formule a été donnée pour la première fois par M. Gudermann. La démonstration même prouve que la série est convergente; il est aisé d'ailleurs de s'en assurer directement. Le terme général

est égal en effet à

[x -h n -h- j y^r^ - ^x + ny + 3(x-hnY/ ~~ f '

0 étant plus petit que l'unité ; or, en effectuant les multiplications, cette expression se réduit à la somme

\3 ~~~ ?/ (x-hn)2 ~*~ 6{x-hnf

qui est évidemment le terme général d'une série Convergente.