MIS DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

. < Vst-à-dire qu'en opérant sur la .produirait précisément celle-ci.

• nis qui ne peuvent offrir aucune diffiiiiH.'uccinent de ce chapitre.

■■' donnée, on détermine une seconde surface

rv plans tangents à la surface S, à ïaide dune

■ r. On demande de déterminer le plan tangent en

K >IN le plan tangent en ce point, et P le point de

lur la construction convenue, par le point P et par deux points, Q et R, déter- Lîtion appliquée aux plans qui touchent la surface it voisins de A. Or on peut, à ces plans tangents

s plans parallèles menés par le point A, qui en itiniment petites du second ordre, et remplacer Q its de ces nouveaux plans. 11 est clair, en effet, es points, quelle que soit la construction qui le

I de l'équation du plan dont on le déduit, et que

ngement infiniment petit du second ordre, le chan-

inées est un infiniment petit (2) de même ordre.

1 trois points infiniment voisins, situés sur la surface

la construction convenue de tous les plans menés

in^iierché n'est donc autre chose que le plan tangent

le plan tangent à la surface S' pourra se déterminer en is i\ la surface S des plans passant par un point fixe. • ilre la difficulté provenant de la nature plus ou moins s née.

n m prend implicitement la solution des problèmes I et très du même genre. 11 faut bien remarquer toutefois nent arbitraire d'ailleurs, à l'aide de laquelle s'obii sidéré, doit être indépendante de la position du point

^se d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan

.et que Ton porte, sur cette perpendiculaire, une lon-

OM du point 0 au point de contact, le plan tangent au

lis ne peut pas s'obtenir à l'aide de la remarque précé-

• ii de ce point Q ne dépend pas seulement de celle du

On verra , absolument comme ( 13), que les points N et P étant supposés situés à des distances infiniment petites du premier ordre de M, on peut leur substituer d'autres points N' et F tels, que NN' et PP' soient infiniment petits d'un ordre supérieur. Une telle substitution n'altérant pas la direction limite des droites MN etMP, ne change pas non plus la limite du plan MNP.

Problème I. — On abaisse d'un point O des perpendiculaires sur les plans tangents dune surface donnée ; trouver le plan tangent à la surface lieu des pieds de ces perpendiculaires .

Soient OP la perpendiculaire abaissée du point 0 sur le plan tangent en A, OQ et OR, les perpendiculaires respectivement abaissées du même point 0 sur les plans tangents aux points Bet C, infiniment voisins de A. Pf Q, R sont trois points infiniment voisins de la surface considérée, et le plan qui les contient est à la limitele plan tangent cherché.

Si les distances AB, AC sont infiniment petites du premier ordre, il en sera de même (7) des distances PQ, PR, et par conséquent on peut substituer aux deux points Q et R d'autres points Q, et R, tels, que QQ4 et RR, soient infiniment petits du second ordre.

Nous obtiendrons ces points Q, et R, en menant par le point A des plans parallèles aux plans' tangents en B et C et abaissant sur ces plans des perpendiculaires OQ,,OR, : chacun de ces nouveaux plans est, en effet (16), a une distance infiniment petite du second ordre du plan tangent auquel il est parallèle, et la perpendiculaire commune a ces plans les coupe en deux points que Ion peut substituer l'un à l'autre; le plan tangent cherché est donc la limite du plan PQ,R, lorsque les points Q, et R, se rapprochent indéfiniment du point P. Mais le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point 0 sur tous les plans possibles menés par le point A est une sphère décrite sur OA comme diamètre, et le plan PQ, R, qui passe par trois points infiniment voisins de cette sphère, lui est tangent à la limite, en sorte que le plan tangent cherché est tangent en P à la sphère décrite sur OA comme diamètre.

Problème II. — On abaisse d'un point fixe 0 des perpendiculaires sur les plans tangents à une surface, et l'on prolonge cliaque perpendiculaire OP jusqu'en un point Q teL que le produit OP.OQ soit égal à un carré donné a2; trouver le plan tangent à la surface lieu des points Q.

Par des raisonnements tout semblables à ceux qui ont servi dans la solutiou du problème précédent, on trouvera que le plan tangent demandé au point Q est perpendiculaire sur la droite OA qui joint le point 0 au point de contact du plan tangent sur lequel OQ est perpendiculaire et qu'il coupe le rayon OA en un point Bf tel, que OA.OB = a2, en sorte que la surface proposée et la surface lieu des points Q