Considérons encore la fonction

^• = arc tangx.

Lorsque x est infiniment petit, y est égal à x; posons donc

on en conclut

dr i x dyy

dx i -h y\ ( i -t-ji Y dx

Remplaçons -f- par sa valeur — - — ;» et chassant les dénominateurs, nous aurons

(IX I -~t~~ X

dr,

Pour une valeur infiniment petite de a?, on sait que la différence/ — x est du troisième ordre; il en résulte que yy est infiuiment petit du second ordre; mais l'équation précédente suffit pour le démontrer en déterminant en même temps sa valeur approchée. Posons en effet

y=*xm,

rn étant une constante inconnue et a une fonction de x, qui reste finie lorsque x est infiniment petit. L'équation (i) deviendra (45)

x(i-+-x2) (/na^-'lti + î) — x2 (i -+- *x™ ) -h ax" (i •+- stxm ) = o,

£ étant infiniment petit avec x. Si dans cette équation on suppose x infiniment petit, le premier terme est d'ordre m, le second du second ordre, et le troisième d'ordre m. Or il est évident que la somme des coefficients des termes de Tordre le plus élevé doit être nulle; on doit donc avoir, si m est moindre que 2,

i3S PREMIÈRE PARTIE. -, CALCUL DIFFÉRENTIEL,

ce qui est impossible, et si m surpasse ? ,

ce qui est également impossible puisque « a, par hypothèse, une valeur finie. Il faut donc prendre m = u , et Ton a alors

2a — I -h a = °, OU

La valeur approchée de y, est donc v, = y et nous poserons

v2 étant infiniment petit avec x.

On verra sans peine que y2 satisfait à l'équation

x{ i + .r2) ^ — *2(4 +r»)-H 3 -KvOr-- = «

On en conclut que, pour une valeur infiniment petite de x, y., est du second ordre et a pour valeur approchée %x2\ posons donc

On verra de même que y% satisfait à l'équation

dr

et Ton en déduira que, pour une valeur infiniment petite de x, la valeur approchée de r3 est ^- : on posera donc

qx7

et Ton aura, en continuant de même,

arc lang x =