LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
429. La transformation des séries est souvent la méthode la plus commode pour
obtenir les développements sous forme de fraction continue et en étudier la loi.
Nous en indiquerons quelques exemples.
Citons d'abord la transformation de la série
/ x axa1 i a3
donnée par Legendre dans une Note de sa Géométrie, et dont il a déduit des conséquences remarquables.
On déduit de l'équation ( i )
/ x ai a2
en retranchant les deux équations membre à membre et effectuant la soustraction des termes correspondants dans les seconds membres, on a
c'est-à-dire, d'après la définition de <p (z) ,
Divisons par 9 (z + 1) les deux membres de cette équation et posons
3 <p(ZJ
l'équation (a) devient, comme on le vérifie aisément,
En remplaçant successivement dans cette équation z par 2 + 1,3 + 2, ...on aura
(* + i) + ,},(* + aj
et par conséquent
ty {z), d'après sa définition, représentant le quotient
z axa1
z 22(2-4-1) Si Ton pose z = - » la fraction continue peut évidemment se mettre sous la forme
ia
dans laquelle les numérateurs, excepté le premier, sont égaux à l\ay et les dénominateurs forment la suite des nombres impairs; quanta la fonefion <|i (*) représentée par cette fraction, elle devient, par l'hypothèse z = -? *
la i6a* " 64 as
11 est aisé de voir que cette fraction équivaut à
On a donc
;-e2^—e-^' La
Si Ton pose 4« = oc2, on en conclut
