LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si Ton suppose x = -> cette formule donne

ip-h-7

bH 1

e2 — e ' IO-T--7

Or on a

par conséquent

IO-h-y I

Cette formule, due à Euler, est la plus avantageuse que Ton puisse employer pour le calcul du nombre e.

430. La méthode précédente a beaucoup d'analogie avec celle que Gauss a suivie pour réduire en fraction continue la série très-générale

v r ' ' 1.7 1.2.7(7-+-!) i.2.3.7(7-hi)(7-f-2)

qui, pour des valeur? convenablement choisies de a, ]3, y, peut représenter la plupart des développements célèbres obtenus jusqu'ici.

On vérifie aisément, en constatant l'identité des coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres, l'égalité

Si donc on pose

ir^G (a, 3, 7, x),

on aura aussi, en remarquant que la fonction F est symétrique par rapport a lettres a et ]3f

~ F^TP/T^l ~ F(p, a, 7, *) -^M.**»-

L'équation ( i ), divisée par F (a, (3 -h i, y-f- 1, #), prend la forme

Ci («, p, 7» *) 7 (7+0 OU

= — /— --^^G(p-hl,a,74-i,^),

La même formule donne par de simples changements de lettres

La fonction G qui figure au dénominateur de cette dernière équation s'exprim à son tour à l'aide de la même formule, et l'on a enfin

(3) C.(pf«f7,*)= '— -

où l'on a posé

'-; — -ai

a a(y-P)f ft= (P-»->)(7 + '-*.)

= (« + a)(7 + 2-p) (pH-3)(7-|-3 — » )

Si Ton suppose /3 = o,* on a évidemment

et l'équation (3) devient par conséquent, en y remplaçant 7 par y— 1,

flJC

c__ («-M)7 rf= ^(7 + '-«)

et la double loi de formation de a, c, e,..., et de b, d, /,..., est évidente.

43t. L'équation précédente fournit le développement de plusieurs fonctions simples.

On a, comme il est facile de s'en assurer,

(i4-jr)" = F(-n,i,i,-x),

et la formule (4) donne par conséquent en y faisant a= — n, 7 = 1, et remplaçant x par — #,

■ , a(ii + 2) î-

' ÎT-*