THÉORIE DES RÉSIDUS

434. Lorsqu'une fonction y (a?) devient infinie pour une valeur particulière a de la variables? dont elle dépend, Cauchy a nommé résidu de cette fonction par

rapport au nombre a, le coefficient de dans le développement de la fonc-

tion en série ordonnée suivant les puissances de x — a.

Cette définition exige quelques explications. Il peut arriver en effet qu'une même fonction soit représentée par plusieurs séries différentes, toutes ordonnées suivant les puissances positives ou négatives de x — a, et dont la convergence corresponde à des limites différentes. Soit, par exemple,

on a

X1 X3 xs

et le développement est applicable a toute valeur de x dont le module surpasse l'unité. Mais on a aussi

cette seconde série étant convergente pour les valeurs de x dont le module est moindre que l'unité. Lors donc qu'on parle sans autre explication du coefficient

de - dans le développement de la fonction — — i on doit hésiter.entre o et — r ,

qui multiplient- dans les deux développements; l'indétermination dans d'autres

cas pourrait être beaucoup plus grande.

Nous ajouterons donc, pour compléter la définition, que le développement auquel elle se rapporte doit être convergent pour de petites valeurs de la différence x— a, suivant les puissances de laquelle il est ordonné. Dans l'exemple précédent, le second développement est seul convergent pour de petites valeurs de x9 et par conséquent

le résidu de . __ relatif àa? = o, est — t, et non pas o.

4i8 " PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

435. En général nous admettrons que la fonction considérée ?{x) devenant infinie pour x = a> il existe un nombre entier m tel, que le produit {x — a)m ç [x) ait une limite finie lorsque x tend vers a. Le théorème de Taylor permet alors de développer ce produit en série ordonnée suivant les puissances positives dex—a et convergente pour de petites valeurs decette différence. Cettesérie divisée par (x— a)m

sera le développement dans lequel . a pour coefficient le résidu de y (x) relatif à la valeur adex.

Il faut remarquer que, d'après ces explications, il peut arriver qu'une fonction devienne infinie pour x = a, sans avoir un résidu correspondant. Ainsi, par exemple, la fonction la? devient infinie poura?=o. Cependant le produit xn,\x n'est pour aucune valeur de m, développable en série ordonnée suivant les puissances positives de x, car la {m + \)iime dérivée de ce produit devient infinie pour x = o. 1 x n'admet donc pas de développement ordonné suivant les puissances positives ou négatives de x, et la définition des résidus ne lui est pas applicable. Nous pouvons en dire autant de la fonction — poura? = o, de 3 pour x= i, et d'une

sjx y/x — i

infinité d'autres. Tous ces cas- sont supposés exclus dans les démonstrations données dans ce chapitre. Nous verrons d'ailleurs qu'ils ne peuvent se présenter quand il s'agit d'une fonction bien définie ayant pour chaque valeur de la variable

une valeur unique et déterminée. \x et -= ne remplissent pas cette double condi-

tion, et (377) il est impossible de la leur faire remplir en restreignant le sens que l'on y attache.

Détermination d'un résidu.

436. Les explications qui précèdent rendent facile la solution du problème suivant : Trouver le résidu d une fonction donnée, pour une valeur de la variable qui la rend infinie.

Soit x = a «ne racine de l'équation

Soit m son degré de multiplicité, en d'autres termes, soit m le nombre entier tel, que le produit (x — a)'n o [x) ait, pour x = a, une valeur finie. Posons

(x — a)mi(x) = ¥(x);

F (x), ne devenant pas infini pour x = a, peut en général être développé en série