m — i) i.2.3... (m — i) ( rfx*-" j

Lorsque le nombre m se réduit à l'unité, le résidu de y (x) prend la forme

Supposons que, dans ce cas, la fonction a> (a?) soit une fraction Vp- ; dont l'hypothèse x = a annule le dénominateur <j> (x). Le résidu est la limite du produit

lorsque a; tend vers a, et cette limite est évidemment

le résidu est donc égal au numérateur divisé par la dérivée du dénominateur, mais cette règle n'est applicable qu'au cas où a est une racine simple de l'équation f(x) = o.

* 437. Pour appliquer les règles précédentes, cherchons le résidu de la fonction

cot - pour la valeur x = — qui la rend infinie.

x r nn n

Le produit

(x ) cotmt/ x

a, pour x = — j une limite finie. Si l'on pose en effet

h étant infiniment petit, cot - peut être remplacé par p et le produit

h \/iir-|-A mtj

a évidemment pour limite ~» qui est par conséquent le résidu demandé.

Cherchons encore le résidu de

x2 lang x

relatif à x = o. Le produit de la fonction par x* ayant dans ce cas une limite finie, le résidu est la valeur que prend, pour# = o, l'expression

L EL ( x \ 1.2 dx* ytanga:/

Or on a

tang x

d x & cos'.r sin.r eos.r — x

dx langer tanga.r sin'jc

, , d' x (cos*x — sin'x— i)sinax — 2sin#cos.r(sin#cos.r — x)

dx2 tang x siu4 x

— 2sin4jr — 2sin'.r oos'#-h2#sin;r cos.r

sin4.r

Lorsque x est très-petit, on a, en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre,

sin1 x = x\

sin2 x cos5 x = ix — jr ) 1 = x* — -5- — xl=- x- — ^ x',

i x>\ I xJ\ 9 x* x* 2

et par la substitution de ces valeurs, la fraction (a) se réduit à — rqui est sa limite; le résidu est donc égal à — i-

Notations de Cauchy.

438. Cauchy a représenté le résidu d'une fonction s (x) par le signe £ ; mais, comme il importe d'indiquer à quelle racine de l'équation — — = o se rapporte le