LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. m

résida considéré, il a proposé de mettre le facteur en évidence en le plaçant entre doubles parenthèses.

est, d'après cela, le résidu de la fonction o (x) relatif à la valeur x = a, pour laquelle cette fonction devient infinie.

En l'absence de toute indication analogue, £9(3?) désigne la somme des résidus relatifs à toutes les racines de l'équation — — =0. Cauchy le désignait sous le nom de résidu intégral. Pour indiquer la somme des résidus relatifs à quelquesunes seulement des racines de l'équation -y— = o, on place entre parenthèses les facteurs correspondants à ces racines.

désigne, d'après cela, la somme des résidus de la fonction y (#), pris successivement par rapport à a, 6, c.

Pour indiquer la somme des résidus relatifs à celles des racines dont les parties

réelles sont comprises entre deux limites a et a' et les coefficients de y/— 1 entre j3 et |3', on écrit

mais, en adoptant cette notation, on convient de ne compter que la moitié des résidus relatifs aux racines pour lesquelles une des limites est atteinte, et le quart seulement de ceux pour lesquels la partie réelle et le coefficient de V— 1 atteignent l'un et l'autre la limite indiquée.

Le but de ces dernières conventions est de permettre l'emploi de la formule suivante, qui sans cela serait soumise à des restrictions :

/3' a' ha h yj fi a fi' a'

£f(*)=£»{«) + £fW+£f(*)+£t(*).

/Sa Z v. :i a h ol ha

où a est supposé compris entre a et a', et b entre |3 et /S'.

Si l'on représente, en effet, une expression imaginaire x-hyyj—if parle point du plan dont les coordonnées sont x et r, le premier membre de cette égalité est la somme des résidus relatifs aux racines correspondantes à des points situés dans l'in-

i52 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

térieur d'un certain rectangle, et le second membre est la somme des résidus relatifs aux racines qui correspondent à des points intérieurs respectivement à quatre rectangles plus petits, dans lesquels on peut décomposer le premier. L'égalité est donc évidente, pourvu que Ton ne compte que la moitié des résidus relatifs aux points situés sur les lignes départage, et qui évidemment figurent deux fois dans la somme, et si la fonction devient infinie pour x=a -h b v'—i, le résidu relatif à cette valeur se trouvant quatre fois dans la somme, devra dans chaque terme, conformément à notre

convention, être multiplié par j>

Théorèmes relatifs aux résidus.

439. Si la fonction y (x) devient infinie pour x = a, la différence

t,\ lnr\ P 9(z)(Z—a)

a toujours une valeur finie quand on y suppose x = a.

En d'autres termes, pour faire disparaître d'une fonction y (x) la partie qui devient infinie pour x = a, il suffit d'en retrancher le résidu de y relatif à z = a.

Supposons la fonction 0 (x) développable en série de la forme

on a, en remplaçant x par z, et divisant par x — z ,

y (z) Ai A, .

m est, pour des valeurs de z peu différentes de a, développable en série ordonnée suivant les puissances de z — a, et l'on a

en remplaçant par ce développement dans chacun des termes du second membre de l'équation (3), on obtiendra une série dans laquelle le coefficient

de est évidemment

x — a ( x — af ' [x — a )m

où l'on reconnaît la somme des termes qui dans le développement de <p(oc) deviennent infinis pour x = a, et puisque cette somme est le résidu de y \ , le

théorème est démontré.

440. D'après la formule qui exprime (436) le résidu d'une fonction, il est aisé de voir que le résidu de

relatif à z = a est une somme de fractions de la forme . p— r- : le théorème de

Cauchy fait donc connaître une fraction rationnelle qui, retranchée d'une fonction donnée de x, fait disparaître, pour x = a, la partie de cette fonction qui devient infinie. Cherchons, par exemple, la fraction rationnelle qui, retranchée de

— - — — * laisse une différence finie lorsqu'on y suppose x = o. Cette fraction est,

d'après le théorème précédent,

c (,-rosz) (x—z) ((z)j

c'est-à-dire le résidu de ; r-; x> relatif à z = o. z est une racine dou-

[X — Z) (i — COS Z)

ble de l'équation i — cosz = o; le résidu est donc (436) la valeur que prend, pour z = o9 la dérivée,

d zj

<lz(x — z)(i — cosz)' or on a

d z- 2;(i- cos z)(x — z)-\-z2sinz(x — z ) +■ z2 ( i — cos z )

dz(x — * H i — cos z ) (i — cos z ) ( x — z )-

cosz) + 2* sin z

■cosz)-" (x — z)'(i — cosz)

Le premier terme du second membre a pour limite zéro, parce que le dénominateur est un infiniment petit du quatrième ordre, et en remplaçant les sinus et cosinus qui figurent au numérateur par les séries qui les représentent, on voit que les premiers termes qui subsistent après les réductions sont du cinquième ordre. D'ail-

i54 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

leurs i — cos z étant égal à n sin2 - z, a pour limite s, et le second terme

D 2 I — eus z l

se réduit, pour z = o, à -r ; telle est la fonction qui, retranchée de - — 1 laisse

r x1 ^ 1 — cos x

un reste dont la valeur est finie pour a? = 0. On dit quelquefois, d'une manière expressive mais peu correcte, que — 2 est la partie infinie de m •

441 . Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. — Si Ton retranche d'une fraction rationnelle 9 (a?), le résidu intégral £ liîllLll relatif à toutes les

racines de l'équation -p- = o, la différence

ne devient infinie, d'après le théorème précédent, pour aucune des valeurs de x qui rendent infinie la fonction 9 (a?); eteomme un résidu n'est jamais infini, cette différence, qui évidemment est une fonction rationnelle de x9 ne devient infinie pour aucune valeur finie de la variable: elle se réduit par conséquent à une fonction entière, et le résidu intégral

est par suite la somme des fractions simples qui figurent dans la décomposition detpix). Lorsque dans <p(x) le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur, l'expression n'a pas de partie entière, et l'on a

Soit, par exemple,

on aura

KX— i, [JL H-0 *- \X—3) K--MJJ 1(2 — »)/ ^ (X — *J(5 — 1/1 1-8 — IJJ

*- >■ — -;;s -4-0 11* — ") r mais on a (436)

^ ^ — z; [z — 1}' 0;5-H i)J 4(^-Hi)ï

<~ 1* — -;:--m; f('- «•))= ~~ — 4(*— 0 "^ *(* — oj '