LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 15S

par conséquent

Somme des résidus d'une fonction rationnelle. 442. Reprenons l'équation

qui suppose seulement que la fonction rationnelle f(x) s'annule pour une valeur infinie de x. Multiplions les deux membres par x et remarquons que les résidus dont la somme forme le second membre étant pris par rapport aux valeurs de la lettre z qui rendent ?(z) infini, la multiplication par x peut s'effectuer sous

le signe £ ; nous aurons

et si l'on fait croître x indéfiniment, cette équation devient

Si le produit xy(x) s'annule comme <p (x) pour une valeur infinie de x, ou, en d'autres termes, si le degré du dénominateur de y (x) surpasse de plus d'une unité celui du numérateur, on aura donc

c'est-à-dire que la somme de tous les résidus de la fonction 9 (z) est égale à zéro. Ce théorème ne diffère que par la forme d'une formule importante due à Euler. Soit