FÎT

F (x) étant un polynôme de degré supérieur à />+ 1, et dont nous supposerons tous les facteurs inégaux ; x —a étant l'un de ces facteurs, le résidu correspondant à a?= a est (436)

ar

Si donc, a, by c,..., k, /, sont les racines de l'équation F (x) = o, la formule (4) équivaut à

a? bP Ip

v ; F'(«pF'(6p F'(/)'

Cette équation suppose, il ne faut pas l'oublier, que l'exposant p soit inférieur de deux unités au moins au degré du polynôme F (a?). Si la différence entre/? et le degré du polynôme F (x) est une unité seulement, le premier membre n'est plus

nul, et sa valeur est la limite de jn— :» c'est-k-dire l'inverse du premier coefficient

de F (a?).

443. Cauchy a complété le théorème précédent en donnant l'expression de la somme des résidus d'une fonction rationnelle, qui n'est pas nulle pour une valeur infinie de la variable. On a, quelle que soit la fonction rationnelle y (x)9

la détermination de la somme de tous les résidus, quel que soit leur nombre» étant par là ramenée au calcul d'un résidu unique relatif, comme l'indique la manière dont il est écrit, à la valeur zéro de la variable z. On a en effet (439)

■c,((ll.j)(,a)+w^)'

gj (z) ne devenant pas infini pour z = 0. On a d'ailleurs

donc

f\*J c ? \"' ' / u u2 up \

La fonction 9 (x) devenant infinie avec x, l'équation

admet la racine u = o. Soit m son degré de multiplicité: les termes qui dans la parenthèse ont un exposant plus grand que m+i, ne sont pas infinis pour u = o,