LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

et n'influent par conséquent pas sur le résidu; on peut donc écrire

ou, ce qui revient au même,

Si l'on pose - = x et z*zs(z)=Y (a;), il viendra, en divisant les deux membres par ar\

Prenons maintenant les résidus des deux membres de cette équation par rapport à x, et pour toutes les racines de l'équation —. — r = o, il viendra, en ayant égard

aux équations évidentes £- = t, £1 = 0, .., £*=<>, £ *- = o,

OrF(a?) désigne ici z2u(z), le produit œF[x)9 est par conséquent égal à sw(z), et s'évanouit par conséquent lorsqu'on suppose x infini, c'est-à-dire z égal à zéro; on a donc (442)

et par conséquent enfin

comme on l'avait annoncé.

Changement de la variable indépendante.

444. Lorsque l'on change la variable au moyen de laquelle une fonction est exprimée, les résidus de la fonction changent en général de valeur. Que l'on con- I. 58

sidère, par exemple, la fonction - dontlerésidurelatif à a?=oest l'unité; si Ton pose

x = z29 la fonction devient —> et le résidu correspondant à z = o est nul. Les résidus dépendent donc du choix de la variable. Cauchy a démontré le théorème suivant :.

Si la fonction <f{x) devient infinie pour x = a, et que Ton pose x=ty(z), zK étant la valeur de z qui correspond à x = a, on a

r ?(*) (x — a) r y(z)f(z)(z — zt)

Supposons d'abord que le produit {x — a) <p (x) ait, pour x = a9 une valeur finie,

on a (436)

(a) £ ((Jc-,a)JJ = jmi^ — fl)t (*)»

mais

(x^rOy(x)=[^(z)-^(zi)ly[^(g)]=^(f)~^(Z,)y^(z)](z-zl)-

Lorsque a? tend vers a, z tend vers z,, et le rapport

a pour limite <{/ (z,), et le produit

a pour limite le résidu de v|/(z) <p [<!>(*)] relatif à z = z, ; on a donc

p ?(*)(* — fl) p ?[♦(*)] +'(z)(z — Zi) { } <- {{x—a)) <- 1(3 — z,))

On doit remarquer toutefois que le raisonnement précédent serait en défaut, si pour la valeur z, de z, ty' (z) était nul ou infini. Dans ce cas, en effet, <{/ (z) et

•M*) — v(*') ^ devenant nuls tous deux, pour z = z,, ne sont pas pour cela

des infiniment petits égaux, et il n'est pas permis de les remplacer l'un par

l'autre. Si, par exemple, f(z) = z*, et z, = o, on a,

Z Zi

et il faut, pour que la formule (3) reste exacte, diviser le second membre par jx.