LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

peuvent être considérées comme conjuguées, c'est-à-dire qu'en opérant sur la seconde comme on Ta fait sur la première, on reproduirait précisément celle-ci.

Nous ne développerons pas les raisonnements qui ne peuvent offrir aucune difficulté à ceux qui ont bien compris le commencement de ce chapitre.

Problème 111. — Une surface S étant donnée, on détermine une seconde surface S' dont chaque point se déduit de l'un des plans tangents à la surface S, à l'aide dune certaine construction bien déterminée. On demande de déterminer le plan tangent en un point de la surface S' .

Soient A un point de la surface S» MN le plan tangent en ce point, et P le point de la surface S' déduit du plan MN par la construction convenue.

Le plan tangent cherché passe par le point P et par deux points, Q et R, déterminés à l'aide de la même construction appliquée aux plans qui touchent la surface S en deux points B et G infiniment voisins de A. Or on peut, à ces plans tangents aux points B et G, substituer les plans parallèles menés par le point A, qui en sont (16) situés à des distances infiniment petites du second ordre, et remplacer Q et R par les points Q, et R, déduits de ces nouveaux plans. 11 est clair, en effet, que les coordonnées de l'un de ces points, quelle que soit la construction qui le donne, dépendent des coefficients de l'équation du plan dont on le déduit, et que ces coefficients subissant un changement infiniment petit du second ordre, le changement correspondant des coordonnées est un infiniment petit (2) de même ordre.

Mais les points P, Q,, R(, sont trois points infiniment voisins, situés sur la surface lieu des points déduits à l'aide de la construction convenue de tous les plans menés par le point A; le plan tangent cherché n'est donc autre chose que le plan tangent à cette dernière surface.

On voit, d'après cela, que le plan tangent à la surface S' pourra se déterminer en substituant aux plans tangents à la surface S des plans passant par un point fixe. Cette substitution fait disparaître la difficulté provenant de la nature plus ou moins compliquée de la surface donnée.

Cette remarque générale comprend implicitement la solution des problèmes I et II et celle d'une infinité d'autres du même genre. 11 faut bien remarquer toutefois que la construction, entièrement arbitraire d'ailleurs, à l'aide de laquelle s'obtiennent les points du lieu considéré, doit être indépendante de la position du point de contact.

Si, par exemple, on abaisse d'un point 0 une perpendiculaire OP sur le plan tangent à une surface donnée, et que Ton porte, sur cette perpendiculaire, une longueur OQ égale à la distance OM du point 0 au point de contact, le plan tangent au lieu des points Q ainsi définis ne peut pas s'obtenir à l'aide de la remarque précédente, parce que la position de ce point Q ne dépend pas seulement de celle du I. 3

plan tangent qui a servi à le déterminer, mais aussi de celle du point M où ce plan

touche la surface.

Problème IV. — D'un point fixe®, on mène à un point quelconque M dune surface donnée S, un rayon recteur OM, par le point M on mène la normale MN à la surface S, et par le point 0, dans le plan OMN, une droite OP peqtendiculaire et égale en longueur OM. On demande le plan tangent à la surface I lieu des points P.

Soit MT la projection de OM sur le plan tangent en M à la surface S. Cette ligne est évidemment tangente à la courbe d'intersection de la surface S par le plan OMN. Supposons que le point M se déplace sur cette courbe, on pourra admettre, en négligeant les infiniment petits du second ordre, qu'il se transporte en un point M, situé sur MT. Si la normale en M, à la surface S était située dans le plan OMN, le point correspondant de la surface 1 serait situé dans le même plan à l'extrémité d'une droite PQ, perpendiculaire et égale en longueurs MM,. 11 est clair, en efTel, que les triangles OMM, et OPQ seraient égaux et auraient les côtés perpendiculaires. Mais les deux points M et M, étant situés sur la surface S, à une distance in-

finiment petite du premier ordre fini de l'autre, la normale en M, fera en général un angle infiniment petit du premier ordre avec la normale en M cl aussi avec le plan OMN; le point P, de la surface 1 qui correspond à M,, ne coïncidera donc pas avec Q, il s'obtiendra en élevant une droite OP, égale et perpendiculaire à OM,, dans un plan passant par OM, et formant avec le plan OMNPQ un angle infiniment petit, et il est clair que pour obtenir cette droite il suffit de faire tourner OQ, sans changer sa longueur, d'un angle infiniment petit autour de OM,; mais, dans cette rotation, le point Q décrit un arc de cercle infiniment petit QP, qui peut, si on néglige les infiniment petits du second ordre, être remplacé par sa tangente, laquelle est perpendiculaire au plan QPOMM,, et par suite le planP,QP est perpendiculaire à MT, et il en est de même de la ligne PP, qui, réunissant deux points infiniment voisins de la surface 2, est tangente à cette surface.

Nous allons montrer qu'une seconde tangente de la surface I est perpendiculaire aMT.