m — i)(x — a) I.7..3.../II

Le terme en étant ici celui qui nous importe, désignons par zs (x) la somme de tous les autres, et écrivons

Cette équation devient, par l'introduction de la variable s,

Multiplions les deux membres par <j/ (2), et prenons les résidus relatifs às = z(, nous aurons

Le premier terme du second membre est égal à zéro. Le résidu de xs (x) relatif à la valeur a de la variable est en effet égal à zéro, car pour former ts (x) on a retranché

du développement de <p (x) le terme en — ^— • Il en résulte quew (a?) est la dérivée

d'une fonction développable suivant les puissances de x — a , et par conséquent le produit

est la dérivée par rapport à 2 de la même fonction qui sera, en général, développable en série ordonnée suivant les puissances de z — zt9 et par conséquent le résidu de cette dérivée est (314) égal à zéro. L'équation précédente se réduit donc à

(S) Cl[*(*)].V(z){z — z>) F-'(q) r ♦'(*)

Or r — est précisément (436) le résidu de y {x) relatif à x = a, et par

conséquent le théorème sera démontré si nous prouvons que l'on a

Pour y parvenir, posons

z — zt et par conséquent

+ (*) — 4>(*i) z — z{ Le résidu de — x— est égal à l'unité. Quant k celui de P (z), il est nul, car en dé-

veloppant $ (z) suivant les puissances de — - — » la dérivée d'aucun terme ne sera de la forme ; on a donc

Z — Zx

et l'équation (8) se réduit à

(,0) ..a.3...(ni-.)-^ [(z-,,)] '

elle prouve que le résidu de y (a?) relatif à la valeur x = a, est égal à celui de la fonction transformée y [^ (z)] multipliée par la dérivée <|/ (z).

Nous devons remarquer toutefois que cette formule est en défaut, comme la formule (3), lorsque <|*'(*i) est nul ou infini; dans ce cas, en effet, la fraction

♦ («) — *(*■) z — zx

devient également nulle ou infinie pour z = s, , et son logarithme n'est pas développable en série ordonnée suivant les puissances de (z — z%). Cherchons comment on doit alors modifier la formule (io).