Si l'équation

qui lie la variable primitive à celle que Ton veut lui substituer, fournit, pour chaque valeur de xt plusieurs valeurs différentes de z, , il est clair que dans les formules précédentes, z, représente seulement Tune d'entre elles, que Ton pourra d'ailleurs choisir arbitrairement. Si donc on veut transformer le résidu intégral

on ne devra pas le regarder comme égal au résidu intégral

relatif à toutes les valeurs de z , mais au quotient de ce résidu par le nombre des valeurs distinctes de z qui correspondent à une même valeur de x.

Si pour une des racines x = a de l'équation -7—. = o, //. valeurs de z deviennent

égales entre elles, le résidu correspondant n'entre qu'une seule fois dans l'expression (2); mais alors, en vertu du paragraphe précédent, il est égal au produit par [x du résidu relatif à x = a qu'il remplace, et la relation entre les expressions (1) et (2) reste par conséquent la même.

Quelques applications de la théorie des résidus.

447. Cauchy a retrouvé plusieurs formules célèbres et importantes en appliquant à des fonctions quelconques les théorèmes démontrés pour les fractions rationnelles. Malgré le peu de rigueur d'une telle extension, nous en donnerons ici quelques exemples.

Considérons la fonction cot - > et appliquons-lui la formule démontrée au § 443.

Les racines de l'équation

sont

cot -

Xz=z±-t X=± ?•••» X = ± •

et le résidu relatif à — est (437) -r\ -, le résidu de --> relatif à z = o, est — '-;

rot z

mz " ' n27r3 ------- 22

on en conclut

« Il J 1

3 7T' 4^" fl *'

c'est-à-dire

La formule du paragraphe (443), appliquée à la même fonction cot - > donne

rot z

Or on a pour la valeur z ■.