LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

La formule (3) devient par conséquent, en réunissant les résidus relatifs a

r= — et à s = »

tl 7T /l 7T

rot-

ce qui est d'accord avec la formule déjà trouvée (409).

Calcul des fonctions symétriques.

448. Soit Vj-A une fraction rationnelle quelconque, et œl9 œ2, ..., a^les racines, supposées distinctes, de l'équation i|> (a?) = o. Si l'on pose

on aura, pour une racine quelconque xp,

(2 F(^) = ir.rii£H^Iz^,

et par conséquent

(3) F(*l) + F(Jr,)+---+F(*.)=^^fj-

Le second membre étant la somme de tous les résidus de la fraction Vj-\* peut (443)

être exprimé par un résidu unique, et l'on obtiendra ainsi l'expression d'une fonction symétrique des racines de l'équation ^ (x) = o. Soit, par exemple,

^J,(.r) = x"•-hAl.r'"-, -h ktxm~ '-+-. . .+ Am, • ¥{x) = xn;

il faudra prendre

f?(x) = xn[mxm-l + (m— i)A1Jt—J4-...-hAw 1] = x'»f(^)t

et la formule (3) devient

r» X'-h'ix)

Mais on a (443)

que l'on peut écrire

c'est-à-dire (436)

y x'V(x) __ i d* /m + (m — i)Alz+...+Am-lzm->\ ^

la variable s devant être remplacée par zéro après les différeutiations effectuées.

449. La formule précédente serait d'une application fort pénible, mais on peut la transformer et la remplacer par une autre beaucoup plus élégante. On a trouvé

Pour transformer ce résidu, remarquons que, pour z =o, l'expression a pour limite m; or on a identiquement

et comme on a évidemment cette équation se réduit à

£ — ^tW-