LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

mais v

donc

Pour calculer la valeur que prend, pour z = o, la dérivée nl'*mr de 1 z'n ty ( - ) . il suffit de développer en série la fonction

lU"*} Qn = l(A.*"H-A^.*l"-,H-...H-Al*-+-i),

et de multiplier par i . 2.3. . . n le coefficient de zn\ or, en posant

u = \m zm + A»^ zm~ ' H-.. .H-A,s, on a

Or en nommant/?, q, r,..., des nombres entiers inférieurs a n, le coefficient des"

dans ! " est la somme des fractions de la forme k

(=lï ..a.3.:.<- A<

dans lesquelles on a

et par conséquent le résidu cherché, c'est-à-dire

*•; + *?+.. . + *;, est exprimé par la somme

p, qy . . . , / étant m nombres entiers tels, que

450. La théorie des résidus peut aussi s'appliquer au calcul de quelques fonctions symétriques des solutions d'un système de deux équations à deux inconnues. Soient y (x, y) = o, ty {x, y) = o, deux équations données entre x et y. Cherchons la somme des valeurs que prend la fonction

d y d^ dty d?

dx dy dy dx

pour tous les systèmes de valeurs de x et de y qui satisfont aux deux équations. Le numérateur ${x% y) étant une fonction quelconque de x et dej, il est digne de remarque que cette somme est toujours nulle, quelle que soit la fonction *f , pourvu que son degré soit inférieur de plus de deux unités à la somme des degrés des fonctions <p et <{/.

Si nous attribuons en effet k x une valeur déterminée, l'équation <p (x, y) =o fournira pour y un certain nombre de valeurs correspondantes yn j2»-«-> JV Posons

On sait que F (x) est une fonction rationnelle de x; cherchons le résidu intégral de cette fonction ¥(x): nous aurons

Les résidus doivent être pris pour toutes les valeurs de x qui rendent les fonctions infinies, soit en annulant le dénominateur, soit en rendant le numérateur infini.

Les valeurs de x qui annulent les dénominateurs ty {x,y%)> ty (x, j2),..., ty(x, y„) forment avec les valeurs correspondantes de yif y,2..., yn toutes les solutions du système

<t(x,y)=zo, $(x,y) = o.

Calculons d'abord les résidus qui leur correspondent. Soit a l'une de ces valeurs de x, et |3 la valeur correspondante de y, on a