LIVRE PREMIER, - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Pour trouver cette seconde tangente, supposons que le point M se déplace sur la surface S et vienne en un point que nous nommerons M2, situé à l'extrémité d'une perpendiculaire de longueur infiniment petite MM2, élevée en M au plan OMM«. Le point M, ainsi défini peut être considéré, aux infiniment petits du second ordre près, comme appartenant a la surface S, car la ligne MM2 étant perpendiculaire au plan OMN, est aussi perpendiculaire à la normale MN et par suite située dans le plan tangent.

Pour construire le point de la surface I qui correspond à M2, il faut joindre OM2 et élever au point 0, dans le plan inconnu qui passe par 0M2 et par la normale M2N2 à la surface S, une perpendiculaire a ÔM2 égale en longueur à cette ligne.. Quelle que soit la direction inconnue de la normale M2N2, cette perpendiculaire, que nous nommerons 0P2, est située dans le plan n, mené par le point 0 perpendiculairement à 0M2 ; or ce plan contient OP, et forme avec le plan POM un angle infiniment peu différent d'un droit; d'ailleurs on a (8)', en négligeant les infiniment petits du second ordre,

OM,= OM, et par suite

0Pa = OP.

P2 et P sont donc sur la circonférence d'un cercle décrit du point 0 comme centre dans le plan II dont nous avons parlé; par suite, la ligne infiniment petite PP2 est, dans ce plan, perpendiculaire au rayon OP, et coin me le plan II fait avec le plan POM un angle infiniment peu différent d'un droit, la direction PP2 est, à la limite, perpendiculaire au plan POM, et par suite, comme nous l'avions annoncé, perpendiculaire à MT.

Nous avons donc trouvé deux tangentes à la surface 2, toutes deux perpendiculaires à MT; par conséquent le plan tangent cherché, qui les contient toutes deux, est lui-même perpendiculaire à MT.

On peut faire au sujet du théorème précédent une remarque curieuse. Les deux surfaces S et 1 sont réciproques Tune de l'autre : c' est-a-dire que si, considérant la surface I comme donnée, on opère sur elle comme on l'a fait sur la surface S, on reproduira précisément celle-ci. En menant, en effet, le rayon vecteur OP, puis par le point P la normale à la surface 2, cette normale est parallèle àMT; le plan qui contient ces deux lignes est donc précisément POM, et dans ce plan, la perpendiculaire meqée a OP par le point 0 est OM ; si l'on porte sur elle une longueur égale à OP, on obtient le point M.

Longueur de quelques arcs de courbe.

18. Dans Tévaluation^d'une somme d'infiniment petits on peut, sans altérer la

limite (11), négliger les infiniment petits d'ordre plus élevé que chacun de ceux que

l'on considère. Ce principe est fréquemment employé dans le calcul infinitésimal. Nous en donnerons dès à présent l'application à la détermination de la longueur de quelques arcs de courbe.

Nous regarderons la longueur d'un arc de courbe comme la limite dont s'approche le périmètre d'un polygone inscrit lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. Il est facile de voir que cette définition est légitime et que la limite ne dépend pas de la loi suivant laquelle on fait augmenter le nombre des côtés du polygone inscrit.

jj

Soit, en effet, AB un arc de courbe. Rapportons-le à deux axes rectangulaires OX. OY, et partageons en un nombre infiniment grand de parties égales la portion PQ de l'axe des X sur laquelle il se projette. Si l'on inscrit dans l'arc AB deux polygones différents se terminant l'un et l'autre aux points A et B, les limites des périmètres de ces polygones seront égales, car les portions infiniment petites comprises entre deux parallèles a l'axe des Y menées par deux points de division consécutifs ont un rapport dont la limite est l'unité. Ces deux portions infiniment petites de polygones ont, en effet, mêmes projections sur l'axe des X, et ces projections sont évidemment égales à la somme des longueurs projetées, multipliée par une valeur moyenne des cosinus des angles formés avec l'axe par les divers côtés ou portions de côtés qui les composent. Mais ces angles différent tous infiniment peu de l'inclinaison sur Taxe de la tangente au point correspondant de l'arc AB. Or des longueurs qui, multipliées par des cosinus finis et infiniment peu différents, donnent le même produit, ont évidemment un rapport dont la limite est l'unité.

19. La différence entre un arc de courbe et sa corde est, d'après ce qui précède, infiniment petite du troisième ordre lorsque l'arc est lui-même infiniment petit du premier ordre.

Pour le démontrer, considérons un arc infiniment petit AMB et sa corde AB. L'arc AMB est, par définition, la limite d'un polygone inscrit dont le nombre de côtés augmente indéfiniment. Si l'on projette chacun de ces côtés sur la corde AB, la somme des projections sera la corde AB elle-même; mais la projection de chaque côté est égale à la longueur de ce côté multipliée par le cosinus de l'angle qu'il forme avec AB, et comme cet angle est infiniment petit du premier ordre, la différence de son cosinus avec l'unité est infiniment petite du second ordre : cela résulte

évidemment de la formule i — cos x = 2 sin2 - x. Si donc on remplace le polygone