LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

deux fonctions y (x) et ty (x)9 <f (x) et tyq (x) les premières dérivées qui ne s'annulent pas pour x = x0. Le théorème de Taylor donnera

y(x.-hh) __ i .?..3... p

et il est clair que, h tendant vers zéro, la limite du second membre est nulle si/> surpasse q, infinie si p est moindre que q9 et égale à

si Ton np = q.

De là nous déduirons la règle suivante : Lorsque une fraction ^— ■ se présente sous

la forme - quand on y suppose x = x0, sa véritable valeur est égale au rapport des

dérivées * tt : si ce rapport se présente lui-même sous la forme -> il faut y substituer

le ra/jport des secondes dérivées \„ > et ainsi de suite, jusqu'à ce quon obtienne deux dérivées qui ne soient pas nulles toutes les deux, leur rapport, qui peut être nul ou infini, est la véritable valeur de* -

La démonstration précédente suppose que la valeur x0 pour laquelle la fraction considérée prend la forme indéterminée soit une quantité finie; s'il en était autrement, on ne pourrait pas en effet substituer à la fraction proposée le rapport

^~ — -j-i et faire tendre ensuite Avers zéro, car x0 étant infini ne peut pas figurer

dans les calculs comme une quantité déterminée. Pour éviter cette difficulté, il

suffit de changer de variable. Si l'on pose x = - > la fraction 7^- devient V / »

et c'*st alors pourty = o qu'elle prend la forme indéterminée. On peut alors lui appliquer le théorème général dont la démonstration n'est plus en défaut, et l'on a

|to 1M = ,,m ~P 'y}= Um ilil = lia &£} ,

et la règle ne subit par conséquent aucun changement.

452. Lorsqu'une fraction prend la forme - pour des valeurs attribuées simulta- 1. tio

nément à deux variables x et y9 elle est, en général, absolument indéterminée, et sa limite dépend de la loi suivant laquelle les deux variables s'approchent des valeurs pour lesquelles la difficulté se présente. Soit en effet

une fraction qui, poura?=,r0,7=j0 prend la forme -> $osonsx—x0-h h9y=y0+k, nous aurons, en remarquant que <p (œ09 y0) et ty (x09 y0) sont nuls ,

(p)h+(p)k+ti

<f(x,y) <t(x,-j-h. r.-f-fr) ycte/. \«r/.

Lorsque A et £ sont infiniment petits, R et R, peuvent être négligés, et l'on a

d y k df

lim f; — *-; = hm -r; -^7— = hm -y-. 1—n >

et cette expression dépend du rapport t qui est entièrement arbitraire.

Fractions qui se présentent sous la forme H„

453. Lorsque les deux termes d'une fraction |^— ■ deviennent infinis pour une valeur x = .v0 delà variable, on peut écrire cette fraction sous la forme

et alors les deux termes devenant nuls, on rentre dans le cas précédent. En appliquant la règle on trouve

Soit A la limite cherchée de la fraction f)— (> l'équation précédente équivaut à

A = A1 lim