LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

on en conclut

f (x) et par conséquent la fraction Vr-\ qui se présente sous la forme §-, peut être remplacée par le rapport des dérivées \rr\-

Le raisonnement précédent est en défaut lorsque la quantité désignée par À est nulle ou infinie : il n'est pas permis en effet, dans ce cas, de supprimer le facteur commun aux deux membres de l'équation (3), on peut s'assurer cependant que la règle reste exacte.

Soit jj — |une fraction qui, pour# = a?0, prend la forme §§-, et dont la limite est

égale à zéro.

Considérons l'expression

qui évidemment se présente aussi sous la forme §-; il est clair qu'elle a pour limite le nombre arbitraire a; la règle lui est donc applicable et l'on a

f'(x)+aV(x) hm rjj— = a,

limfeî=°'

ce qui prouve l'exactitude de la règle.

Si le rapport —^ devient infini, le rapport inverse ^— a Pour Hinite zéro, il

en est par conséquent de même de %\—{i et 777^-! devient infini.

454. On doit remarquer que la règle précédente donne seulement le moyen de substituer une difficulté à une autre. En effet, si pour x = x0, une fonction cp(x) devient infinie, sa dérivée devient en même temps infinie, et lorsque le rapport de deux fonctions se présente sous la forme 55-, pour une valeur finie x = x0 de la variable, le rapport des dérivées prend nécessairement la même forme indéterminée.

Soit en effet x0 — h une valeur fixe de#, aussi voisine que l'on voudra de x0, et x0 — h' une valeur variable que nous ferons tendre vers x0; on a

*(x.-h'J-i(x0-h) = j[^h^B{h hr)]t

Si k tend vers zéro, h restant fixe, le premier membre augmente indéfiniment; il doit donc en être de même du second, et la dérivée y'{x) devient par conséquent aussi grande que Ton veut pour une valeur de x comprise entre x0 — h et x0, et il en résulte évidemment qu'elle est infinie pour x = x0.

455. La démonstration que nous avons donnée suppose l'existence d'une limite

déterminée pour la fraction considérée ^y— : ; elle cesse d'être applicable lorsque la

quantité désignée par A (453) est en réalité indéterminée. Il peut arriver aussi

que le rapport des dérivées soit indéterminé, lors même que la fraction a une limite

déterminée. Par exemple

x — sin x x -h cos x

tend évidemment vers l'unité lorsque x augmente indéfiniment, et le rapport des dérivées

i — cos x

i — sin x

est tout à fait indéterminé.

Autres formes indéterminées.

456. Lorsqu'une fonction prend pour une valeur particulière de la variable l'une des formes »°, i00, o°, ox», il est toujours facile de ramener aux deux cas précédents la recherche de la véritable valeur. En effet, le logarithme de la fonction se présente évidemment sous la forme ox» qui se ramène immédiatement k - ou k §-. Il n'y a donc pas là de question véritablement nouvelle.

Quelques exemples.

457. Il nous reste à donner quelques exemples du calcul de la véritable valeur d'une fonction, en les choisissant de manière k montrer comment dans un grand nombre de cas il est avantageux de substituer, aux méthodes générales, des artifices suggérés par l'habitude du calcul.

Déterminer la valeur de cot - x pour x = o. — On a

2 X COt - X

COt - X == •

Or x cot - x =r — - — qui, pour#=o, a évidemment pour limite 2. La fonction tang-a: