Déterminer, pour x = o, la véritable valeur de
ya-\-x — s/a — x
— Au lieu de prendre les dérivées des deux termes, il est plus simple de les développer par la formule du binôme en séries ordonnées suivant les puissances de x, dont l'inspection fera immédiatement connaître la valeur cherchée. On a
/ / x X* t x Sx1 \
y a a1 \ ia o a2 j
y a a7 \ 2a on* ]
v^ri==^v^=>/H(,-^+è+--)'
La fonction proposée devient donc» en réduisant les séries à leurs premiers termes,
et la véritable valeur est par conséquent \ja.
i59. Déterminer, pour x=o, la véritable valeur de — t— '•
' r ' séc# — cosar
— Cette fraction, pour x=o, se présente sous la forme -> et il en est de même du
rapport des dérivées de ses deux termes. La règle générale prescrirait donc ici deux différentiations; on peut les éviter en remarquant que Ton a
l(i -+-x-hx2)-+- l(i — x-*-x>) __ cos^l(i -hx'-j-ar1) séc x — cosjt sin'j:
Le facteur cosa? tendant vers l'unité, n'exerce aucune influence sur la limite ; -—r
tendant vers l'unité, on peut remplacer le dénominateur par x2, et la limite cherchée est égale à celle de
l(i-t- *' + *') x> Or on a
(x2-4-xiY
|fi + i' + ^) = i'-f^- l — — '- -h
que l'on peut, pour une valeur infiniment petite de x, réduire au premier terme x2; la limite cherchée est donc l'unité.
460. Déterminer, pour x=o9 la véritable valeur de ^'sin , Pour appliquer à cette fraction la règle générale, il faudrait prendre six fois la dérivée de chaque terme ; le développement en série du numérateur conduit au même but par un calcul plus facile. On a
. . . . sins.r sins x
sin sinjr =sin.r : 1
Dans chacun des termes du second membre, remplaçons sin x par la série qui le représente, et supprimons les termes dont le degré surpasse 5, et qui, multipliés par x et divisés para:*, doivent donner un quotient dont la limite est nulle; nous aurons
. , . . x' xb i / , ars\ x' x* x> sin (sin x) = x — -^ H r Lr3 H =x — -r- H
' 6 l?0 b \ 2/120 3 io
On a aussi, en négligeant cette fois les termes en x\
et par conséquent, en négligeant toujours les termes en x1,
le quotient
jrsin (sinar) — sin2.r
a donc pour limite -g-
461. Déterminer, pour x — o, la véritable valeur de — L'application
directe de la règle générale conduirait dans ce casa substituer indéfiniment au problème proposé un autre plus compliqué et de même nature. La solution est au contraire très-simple si Ton a recours à des artifices analogues à ceux que nous avons employés dans les cas précédents. En appliquant d'abord la règle générale, on substitue à la fonction proposée le rapport des dérivées
l'hypothèse a? = o rend les deux termes du numérateur infinis, et Ton n'a fait, comme on voit, que substituer une difficulté a une autre.
Pour calculer la véritable valeur de l'expression ( i ), donnons-lui la forme
(I+Xr.ri(i±£ii(i±£)i.
(i -\- x)* ayant évidemment pour limite e, il suffit de chercher la véritable valeur de
Remplaçons 1 ( i -h x) par la série qui la représente, en négligeant dans le produit (i -f-a?) 1 (i -\-x) les termes en x*, nous aurons
i (i-hi)l(i-f-r) i » i
la limite cherchée est donc — -» et l'on a par conséquent
(i) hm v =
Cherchons encore la limite de la fonction
/ r ex
qui, d'après le calcul précédent, prend pour.r = o, la forme -• Le rapport des dérivées des deux termes est
Le dénominateur étant ici ix, nous pouvons, sans altérer la limite, dans le calcul du numérateur, négliger les termes en .r*. Occupons-nous d'abord du facteur
En y remplaçant I(i + j) par son développement, on voit que ce facteur, quand on
y néglige les termes en x2, se réduit à — i -h g- Le multiplicateur (i ■+- *)*""' ayant
une limite finie, nous pouvons nous borner à cette approximation; mais il n'est pas permis de remplacer ce multiplicateur par sa limite e, Terreur commise serait en effet comparable a .r, et ne doit pas être négligée. On a, en négligeant les termes
en x1,
ex
par conséquent, au même degré d'approximation,
i- {\-\-xf . £. , 3
■i-h x)x = - = {i-hx )'( i — x ) = e ex.
L'expression (4) devient ainsi
{e-îex){-ï+î)+l
dont la limite est — ?-% et Ton a enfin
(i + ^'-e-flim = — r- •
La valeur approchée de [\-\-xf lorsque x est très-petit et que Ton néglige les termes en x*, est par conséquent
, x X ex wex-
Ce sont les trois premiers termes du développement de la fonction. On parviendrait plus directement au même but par le développement direct. Posons
on a
donc
lr=-l(,+*)=-^T+T-T+...),
et par conséquent
[fx x* xl \ i (x x> x* \n
et les premiers termes sont évidemment
(X II#a\
Les suivants, qui s'obtiennent sans difficulté» font connaître les limites des expressions
ex ne^
{x + xf — e-
ex \\ex% ne^r3
dont la première est — t-> et la seconde -g^ e.
