LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

? (x) est l'équation finale, et Ton a évidemment

Si donc on a a la fois -j- = o et ..-y^ = o, il en résulte ç'(a?) = o, et la valeur de x est une racine multiple de l'équation à laquelle elle satisfait.

468. Il faut remarquer que la théorie précédente, reposant sur le développement de Taylor, est absolument insuffisante pour l'étude des courbes dont l'équation conduit à des dérivées infinies ou indéterminées.

On doit étudier ces cas, lorsqu'ils se présentent, d'après la connaissance des fonctions singulières qui figurent dans l'équation.

Soit, par exemple, l'équation

la fonction -^- devenant imaginaire lorsque a: est négatif, la courbe a un point d'arrêt

k l'origine des coordonnées.

Soit encore

r= ri

la courbe représentée par cette équation passe par l'origine; poura? = o la fonc-

j tion e* est discontinue; elle est infiniment petite lorsque x est infiniment petit et

négatif, et infiniment grande lorsqu'il est infiniment petit et positif. Le coefficient

dr angulaire -£- , qui à l'origine des coordonnées est, comme on sait, égal k la limite du

rapport- o a donc deux valeurs, l'une égale à l'unité et l'autre a zéro; la courbe a par conséquent un point anguleux.

Points singuliers des surfaces.

469. La théorie précédente s'étend aux surfaces : nous nous bornerons k démontrer le théorème suivant :

Si F (x9y9 z) = o est T équation dune surface, et quen un point de cette surface les trois équations

(IV d¥ d¥

ne soient pas satisfaites en même temps, si de plus la fonction F (x9 y, z) est finie I. 62

et continue ainsi que toutes ses dérivées, le point considéré ne présente aucune singularité.

Nous regardons un point comme ne présentant aucune singularité, lorsque la sphère infiniment petite dont il est le centre coupe la surface suivant une courbe fermée infiniment peu différente d'un grand cercle.

Soient a, 6, c, les coordonnées d'un point M, situé sur la surface dont l'équation est F (a?, y9 z)=o. Si a-hœlf b-t-yi9 c-hztf sont les coordonnées d'un point infiniment voisin situé sur la même surface, on aura

(0 F(a-hxt, 6-hj„ c + z,) = o,

ou, d'après le théorème de Taylor, et en ayant égard à ce que le point M est luimême situé sur la surface,

rfF d¥ , rfF M

(2) Xx—+rx>- + Zx -^ + M = o,

M désignant une somme de termes tous du second degré, au moins, par rapport

* &it Xit zf

Soit R le rayon de la sphère par laquelle on veut couper la surface, a, /S, y, les angles formés avec les axes par le rayon vecteur qui réunit le point M à l'un des points d'intersection ; on aura

<r,==Rcosa, /, = Rcosp, z, = Rcos7,

et l'équation (a) devient, en supprimant le facteur R,

,., d¥ , firfF , rfF , D11

(3) cosa-T — f"C0sP"^Â +~cos7 77- -+-RM, = o,

M, étant une fonction de a, |3, y et de R, qui, en général, a une valeur finie quand on suppose R = o.

L'équation (3) nous apprend que là somme

rfF arfF rfF

cosa-^+eosp-^ + cosv-^

est infiniment petite avec R, et comme la normale à la surface fait avec les axes

des angles dont les cosinus sont proportionnels à -r- » -»r * -t- 5 on voit que le rayon

vecteur qui forme les angles a, /3, y, fait avec cette normale un angle infiniment peu différent d'un droit, et que le point où il perce la sphère est à une distance infiniment petite du grand cercle suivant lequel elle est coupée par le plan tangent. Il reste à prouver que l'intersection de la sphère et de la surface est une courbe