LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

inscrit par sa projection AB, Terreur commise eât égale à la somme de ses côtés multipliés respectivement par des infiniment petits du second ordre; elle est donc égale au périmètre infiniment petit du polygone, multiplié par une moyenne entre des infiniment petits du second ordre, et par conséquent elle est du troisième ordre.

20. Arc de cycloïde. — Les considérations qui nous ont fait connaître la tangente en un point de la cycloïde permettent d'évaluer la longueur d'un arc quelconque do cette courbe.

Soient AB la position du cercle mobile lorsque le point générateur est situé sur la droite fixe, et M, M' deux points infiniment voisins correspondant aux positions du cercle mobile dont les points de contact sont respectivement C et C. On a vu (14) que pour transporter le point M de la cycloïde sur le point voisin M', on peut lui faire subir deux rotations successives de même angle, Tune autour du point C et l'autre autour d'un point situé à une distance infiniment petite du troisième ordre du point C\ suivies d'une translation infiniment petite du troisième ordre parallèle à CC. II résulte des théorèmes précédemment démontrés, que la translation infiniment petite du troisième ordre peut être négligée, et que l'on peut aussi regarderies deux arcs de cercle comme ayant tous deux le rayon CM et, par conséquent, comme égaux ; en modifiant ainsi la longueur du chemin MM', on ne retranche en effet qu'une portion infiniment petite de sa propre valeur, et la limite de la somme des arcs infiniment petits n'est pas altérée. Évaluons donc l'arc de cercle de rayon CM, et dont l'angle au centre (14, Problème V) a pour mesure, dans le cercle générateur, la moitié de l'arc égal à CC. Or en menant par les points M et M' des parallèles à la base, elles vont rencontrer la position primitive du cercle générateur en deux points M, et M\ tels, que l'arc M, Mt est, d'après la génération de la cycloïde, égal à CC, en sorte que l'angle M,AM't est égal a l'angle au centre de l'arc que nous voulons évaluer; le rayon de cet arc étant d'ailleurs égal à M, A, l'arc infiniment petit MM' de cycloïde peut être remplacé par le double de l'arc M, P, décrit du point A comme centre et compris entre AM, et AM\. Si l'on joint le point M, au point B diamétralement opposé à A sur le cercle générateur, BM, est tangent a M, P, et la portion M,/ de cette droite comprise entre AM, et AM', peut remplacer l'arc M, P. Mais BU\ «tant perpendiculaire à AM', , est égal à Bt (8), si l'on néglige les infiniment petits

du second ordre, en sorte que M, / peut être remplacé par la différence BM, — BM', . et Ton peut considérer Tare de cycloide comme égal au double de cette différence. Si Ton évalue de même les arcs infiniment petits compris entre le point M et le point S le plus élevé de la courbe, leur somme, c'est-a-dire l'arc MS, est. d'après cela. égale au double de la somme des diminutions que subit la ligne BM« en variant de BM, à zéro, c'est-à-dire enfin qu'elle est égale a aBM,, ou, ce qui revient au même. au double de la portion de tangente MT comprise entre le point M et la tangente au sommet.

21 . Variation de longueur dune ligne droite. — Lorsqu'une* droite se déplace dans l'espace et vient occuper une position nouvelle, la variation de sa longueur est la somme des variations subies dans chacun des déplacements infiniment petits dont la succession peut être considérée comme produisant le déplacement total. Nous allons faire connaître un théorème souvent utile, a l'aide duquel on peut former, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'expression de ces variations infiniment petites.

Soient AB et A'B' deux positions infiniment voisines, faisant îfiy un angle infiniment petit du premier ordre dont le cosinus ne diffère de l'unité que d'un infiniment petit du second ordre. En négligeant les infiniment petits du second ordre, A'B' est donc égal à sa projection PQ sur AB, et par conséquent la différence A'B' — AB est égale à PQ - AB, c'est-à-dire à QB - AP, ou à BB' eos B'BQ — AA' cos A' AP,

ou, enfin, à la somme des déplacements AA' et BB' subis par ses extrémités et multipliés respectivement par les cosinus des angles qu'ils forment avec la droite AB, considérée comme dirigée de A vers B quand il s'agit de déplacement BB', et de B vers A quand il s'agit de AA'.

Nous signalerons deux cas remarquables.

Lorsque la droite reste constamment -normale à la ligne parcourue par Tune de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contenant en facteur le cosinus d'un angle droit est égal à zéro, et l'accroissement infiniment petit de la longueur est réduit alors à un seul terme.

Lorsque la droite reste constamment tangente à la courbe parcourue par Tune de ses extrémités, le terme proportionnel au déplacement de cette extrémité contient en facteur le cosinus d'un angle nul, et il se réduit par conséquent au déplacement lui-même, c'est-à-dire à l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle la droite considérée reste tangente.