LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

22. Arc de développée. — Les deux cas précédents peuvent se présenter en même

temps. Si Ton considère deux courbes dont l'une ait pour tangentes les normales

de l'autre, la droite MP, se déplaçant en restant normale à la première et tangente à la seconde, de manière à passer de la position MP à la position NQ, son accroissement, égal d'après ce qui précède à la somme des arcs élémentaires qui composent l'arc PQ, sera précisément l'arc PQ lui-même : on a par conséquent

arcPQ = NQ-MP.

Réciproquement, si l'on considère une courbe quelconque PQ, et que l'on porte sur chaque tangente RT une longueur RT égale à une constante augmentée de l'arc RQ qui sépare le point de contact du point fixe Q, la courbe MTN, lieu

des points T, aura pour normales les tangentes de la proposée. Si l'on considère, en effet, l'accroissement de la ligne QN, lorsque, coïncidant successivement avec les diverses tangentes dont" la longueur a été définie, elle prend la position finale RT, son accroissement total est, par hypothèse, égal à l'arc RQ, c'est-à-dire à la somme des termes infiniment petits proportionnels au déplacement de l'extrémité Q dans l'expression générale de l'accroissement élémentaire. Il faut donc que les autres termes, ceux qui sont proportionnels aux déplacements de l'extrémité N, aient une somme constamment nulle et qu'ils soient par conséquent égaux a zéro.. Or il faut pour cela que le cosinus par lequel on multiplie le déplacement du point N soit égal à zéro, et par suite que la droite mobile forme toujours un angle droit avec la courbe que parcourt son extrémité.

L'étude des courbes telles que PRQ et MTN, dont la première a pour tangentes

les normales de la seconde, joue un rôle important dans la géométrie. Nous ne les considérons ici que comme exemple simple de courbes reçu fiables. Bornonsnous à ajouter que la première, PRQ, se nomme la développée de la courbe MTN, et la courbe MTN est dite la développante de PRQ. Il résulte évidemment des explications précédentes qu'une courbe n'a qu'une développée et qu'elle a, au contraire, une infinité de développantes. Mais nous reviendrons longuement sur cette théorie importante.

EXERCICES

1. Quelle que soit la fonction de la variable x désignée par ? ix;. h désignant un inûniment petit du premier ordre, l'expression

y (x + 2/1) — If [X + /*) H- ff'x]

est iniiniment petite du second ordre.

2. Étant donnés une courbe plane et son cercle osculateur en un point, prouver que la portion d'une parallèle à la tangente commune interceptée' entre les deux courbes est infiniment petite du second ordre, lorsque les distances du point de contact aux deux points d'intersection sont du premier ordre.

3. Si d'un point 0 situé dans le plan d'une courbe plane on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à cettecourbe, et que sur chacune on porte, à partir de O, une ligne proportionnelle à sa longueur, que l'on opère de la même manière sur la courbe ainsi obtenue, et que l'on répète indéfiniment la même construction, la courbe limite correspondant à un nombre infini d'opérations coupera sous le même angle tous les rayons vecteurs issus du point O.

4. D'un pointU situé dans le plan d'une courbe plane on mène des rayons vecteurs aux points de cette courbe, et l'on prolonge chacun d'eux d'une longueur constante à partir de la courbe donnée. Déterminer la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus et prouver que la normale à celte courbe, ta normale au point correspondant de la courbe donnée, et la perpendiculaire au rayon vecteur mené par le point O, se rencontrent en un même point.

5. D'un point O situé dans le plan d'une courbe plane on mène des ravons vecteurs aux différents points de cette courbe et l'on porte sur chacun d'eux, à partir du point O, une longueur inversement proportionnelle à celle du rayon, déterminer la tangente à la courbe lieu des points ainsi obtenus. Prouver que si deux courbes se coupent, celles que Ton en déduit par cette construction se coupent sous le même angle.