LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. Si

c'est-à-dire, en remplaçant das , rfa, ,..., da„ par leurs valeurs,

(xx— x,)d{xx— x,)-+-(yt— ,ri)rf(.ri — .r») (x3—x*)d(xi--x,)-\-(Y-2— y\)d(y\— y3)

(*•,—*, ) rf( xn — xx )-h (tr. — ri ) rf(,n — r. )

L'équation dS = n, qui exprime la condition du maximum, est, comme dans le problème précédent*

o = dri(xH—xi)+dy7(xx—xi)+...+ dy\(xH-x—xx) — dxl(y\—yi) — (lx7(y\ — r3)--...

— dxH(ym-x—y\).

Si Ton écrit l'équation (5) sous la forme

(7) kxdxx + ktdxt-*-.. .+ A.rf*B-hB,rfjï4-B,rf/a4-. . • -+- Bwaf), = o,

il faut évidemment» pour que l'équation (6) en soit une conséquence, que les coefficients des 2/1 différentielles soient proportionnels dans Tune et dans l'autre, et les équations qui expriment le maximum. sont par conséquent

y*—i ~*~Xh

B, Bs B*

Xff ^~* * j Xx~mm~X$ Xi X i

Œ*—\ ~~~~ xm

Si a, est l'inclinaison sur Taxe des X du côté ap9 et |3P, l'angle formé avec le même axe par la diagonale qui joint les points [x^% , j^, ), {xIH.% , vp+l ), l'équation

, v A| 3>n"mmm' Xi

(9) B=— Ï~~=T devient, en y remplaçant A, et B4 par leurs valeurs,

, . sin a, — sin crn cosft,

nos a, — cos «„ sin p,

c'est-à-dire

cos (m=±) '

cosft, sin (îLtS) ~ si» *

ou enfin,

(11) — — =p,4-«ir.

La direction déterminée par l'angle j3, forme donc des angles égaux avec les côtés an et a, ; cette direction est celle de la base du triangle dont an et a, sont les côtés, celui-ci est donc isocèle, et Ton a

on verra de même que tous les côtés sont égaux. En les regardant comme donnés, le problème rentre dans le précédent, le polygone doit donc être inscriptible dans un cercle, et est par conséquent régulier. On prouverait aisément que les équations dont nous n'avons pas fait usage expriment qu'en admettant l'égalité des côtés, les angles aussi doivent être égaux; mais il est inutile d'insister sur ces développements élémentaires qui ne peuvent offrir de difficulté.

Recherche de l'expression, déforme donnée, qui, entre certaines limites , s écarte le moins possible d' une fonction donnée.

488. M. Ttchebitcheff a appliqué la théorie des maxima et minima à la solution d'un problème très-intéressant en lui-même, et qui donne Heu à des artifices analytiques remarquables.

Une fonction <p(x) étant donnée, on propose de la représenter approximativement par une expression P de forme donnée, et contenant un certain nombre de paramètres qu'il faut déterminer par la condition que la plus grande valeur que prend entre des limites données la différence <p (x) — P s'écarte le moins possible de zéro.

Soient — h et -+-A les limites données entre lesquelles reste comprise la variable x. Nommons L la plus grande valeur que prenne, entre ces limites, la différence y (x) — P, et supposons qu'elle réponde à x = x% : il faut évidemment que x = xK rende cette différence. minima, à moins que xK ne soit précisément l'une des deux limites —A et H- A. Si donc on pose

xK doit vérifier l'équation

et toutes les valeurs dex, qui font acquérir à F (x) sa valeur maxima dzL, satisfont à l'équation (2). Si l'on désigne ces valeurs para?, , x2f..., x^, elles sont solutions communes des deux équations

Soient pK 9 />9 >...,/>„, les paramètres arbitraires qui figurent dans P, et qu'il faut déterminer de manière à rendre L un minimum ; nous allons démontrer que les va-