LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
leurs de ces paramètres doivent être telles, que les équations du premier degré
, d¥(xt) €/F(jr,) <*F(g,)
Ai
î^) + >/Z!>L) + ... + >„^(£i) = F(.ri))
«/*l «Pi (ip„
soient incompatibles et ne puissent être satisfaites par aucun système de valeurs ne /»| , /2 ,.. ., /„.
Supposons en effet que le problème soit résolu, et que Ton ait trouvé des valeurs de/?,, p29. ..,/>„, telles, que la fonction F (a?), égale k dtLpour a? = ;r,f a? = a?:M..., jc = Xp9 soit moindre que L pour toute autre valeur de x comprise entre les limites, et que pour toute autre valeur des paramètres, elle puisse au contraire surpasser L. S'il est possible de satisfaire aux équations (3), les conditions précédentes ne sauraient être satisfaites. Admettons en effet que F (x) devienne égale à dz L pour ;v =xl9x = x39...9x = xU9 et qu'il soit moindre que L pour toute autre valeur de la variable. Je dis que Ton pourra changer les paramètres de manière à rendre le maximum de F (x) moindre que L : il suffira de remplacer pl9 p29. .., p,„ respectivement par pK — ), w,yo2 — ^2 w....»p» — >.„«, « étant infiniment petit et positif. La variation infiniment petite de F fa?) est en effet
</F(jr). d¥(x). d¥(x).
tf/>. dp* dpH
et pour& = &4 , x = x.i9...9 x = xn9 elle se réduit, en vertu des équations (3j, à
elle est donc de signe contraire à la fonction, dont par conséquent la valeur absolue diminue. La valeur absolue de F (x) diminuant pour x = xi} et pour les valeurs voisines, devient plus petite que L; il est clair d'ailleurs que la fonction variant infiniment peu , elle reste aussi moindre que L pour les valeurs àcx9 dont la différence avec ,r, , x2,..., xu est finie; F (.r) est donc, après la variation des paramètres, moindre queL, pour toute valeur de x comprise entre les limites--// et ~hfi9 et par conséquent les valeurs p%9p*9...9pn* qu'on leur avait attribuées primitivement, ne sont pas celles qui rendent le maximum de la fonction le plus petit possible.
Il est donc démontré que les équations ( 3 ) doivent être incompatibles pour que les conditions proposées soient satisfaites.
489. Appliquons les considérations qui précèdent à la solution du problème suivant : Trouver le polynôme de degré n de la forme
qui, entre deux limites données —A et H- A, s'écarte le moins possible de zéro, c'est-à-dire dont la plus grande différence avec zéro ait la moindre valeur possible. En nommant L la plus grande valeur absolue de cette fonction, lorsque x varie dç — A à -h A, les valeurs xK , Xj,...,^ de x> auxquelles correspond cette valeur L, satisfont aux deux équations
Le nombre jul de ces solutions communes est au moins égal àn+i; on a vu en effet que les équations
tfF(*,) . d¥[xi} d¥(x1) F(jrl
, M >., H y Xa-K..H -, >.M = F (xn ,
doivent être incompatibles. Or ces équations deviennent, quand on y remplace la fonction F par sa valeur:
X, xn~l -h \ x"-* -h ... -h >»-• J?i -h >, = F ( jt, ) ,
À x"-' -+- >.., x"- 3 -h ... -h >,,- Jt' , -h am = F ( .r ).
Or un polynôme de degré n—\ peut, par un choix convenable des coefficients, prendre des valeurs données pour des valeurs données de la variable, en nombre égal ou inférieur à n\ les équations (4) sont donc compatibles toutes les fois quef/. est moindre que n-hi, et pour que le problème soit résolu il faut par conséquent que /Jtsoit égal ou supérieur à n -h i . Les solutions communes aux équations
sont nécessairement racines doubles de l'équation
(6) (x — fr)[V(xy— L2] = o;
