LIVRE SECOND. -DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. -M S
ock désignant en effet l'une d'elles, x = x% annule évidemment le premier membre de (6), et il annule aussi la dérivée
i(x7 — A') ¥[x)¥'[x) H- a* [F(*)» — L2], car on a, en vertu des équations (5),
Le nombre des racines auxquelles s'applique la remarque précédente étant n -h i au moins, le produit
est divisible par (n-f- 1) facteurs de la forme
(x — xt)*(x — Xi)7 . .(x — xH)7(x — xm+iyy
et comme ce produit est précisément de degré 2/1+2, il est égal à une constante multipliée par le produit de ces facteurs, et l'on a
(7) (x*—h')[¥lxY — L>] = C(x — *,)■(* — x*)*...(x — *„+,)'.
Cette équation exige évidemment que x= — hetûc = -+-h soient l'un et l'autre au nombre des racines &,,&,,..., xn+y. En supprimant les facteurs correspondants, l'équation (7) devient
(8) F(xy — V=(x7 — h*)i{xy, où
l[x) = fà{x — xi)(x — xi).. (x — xm+l).
L'équation (S) donne
(9) [F[x) — i(x) six*— /i'][F(*)-H?(*W*2 — A2] = L2, et par suite
F(*)-h?(*h/*»— rt»
OU
La différence -y— -; — \.r'2 — h2 tend donc vers zéro lorsque x augmente, et, pour
de très-grandes valeurs àex, elle est de l'ordre -5^: sachant d'ailleurs que les
deux termes de la fraction —j—j étant deux polynômes entiers, l'un est de degré n
et l'autre de degré n — i , cette condition suffit pour les déterminer l'un et l'autre ; il est impossible en effet que deux fractions différentes
dont les dénominateurs sont de degrés k et k\ aient, pour x infini, une différence infiniment petite d'ordre supérieur à celui de -^ Si donc <p («r)etç,(a;) étaient, l'un
et l'autre, dedegrén— r, la différencedesdeux fractions serait, au plus, de l'ordre — ^z-3*
et il serait par conséquent impossible que toutes deux eussent avec y/x* — h2 une différence de même ordre que -^r, •
Le problème est donc ramené k trouver une fraction -7— :s dont le numérateur soit de degré n, et le dénominateur de degré n — 1 , et dont la différence avec ^x* —h2 soit, pour une valeur infinie de x, un infiniment petit de même ordre que — -•
Pour résoudre ce problème, il faut réduire \jx* — h2 en fraction continue, et celle des réduites dont le numérateur est de degré n est la fraction cherchée qui, nous l'avons démontré, est unique.
On a *
sJx^Hi2 = x h2 ,
x-t-yx* — h1 donc
SJX2 II2 X :
x-hs/x2 — h2 ->.x -\- {yjx* — h2 — x)
on en conclut
