LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. :)1T

Si Ton nomme 7^ ? ~ » • • ■ * ~ > les réduites de la fraction continue

V» V» Vu

2JT-

chaque réduite se déduisant comme on sait de deux précédentes, on a, en général,

P^, =*xVn— A'P»,, Qih-. a^Q,,— /^Qn, '

et si, dans le calcul de ~^> on remplace 2 oc par 2x4- (\/a,a — Aa — .r), c'est-à-dire

par x h- \/jr2 — A2, la réduite deviendra la fraction terminée qui représente \ x'1 — /r ; on a donc

/ p-y = p« ( * + •*=£"') - fr P-

En chassant les dénominateurs et transposant, cette équation peut s'écrire

P. — Q» v^711"^ = [x — v/^^T2) (P.-, — Q., fc~=¥) ; on en déduit, en remplaçant successivement n par 2, 3, /),...,

Pi — Q7V*2 — A2 = U — ^ — A«) (P, — Q.y/*2— A') t P3— (W*2— h}=(x — sjx> — A')(P,— <W*» — A»)»

P.— On •*» — A» = (* — tf*1— A1) f P,-, — Q-, ^— /'2i- On déduit de ces équations, en les multipliant membre à membre,

P« — Q» )fx2—h>= {x — /r' — A1)"-' (P, — Q, v/*2 — /*2)- P, ,.

La première réduite (y étant égale à - » on a enfin

P« — Qn Sjx* — fc = ( X — fô~f? Y

En changeant le signe de \/jc2 — h2, ce qui est évidemment permis, puisqu'une équation telle que la précédente exige l'égalité des parties rationnelles et des parties irrationnelles dans les deux membres, on aura

P, + QnV>— A'=U+^- /<')*'

et par conséquent

La fraction ?£- est la fraction cherchée —,--7 dont le numérateur est de degré /», et

Qn *(#)

la différence avec sjoc1 — h* d'ordre -^ lorsque x est infini. On a trouvé en effet

Pw(x-h^P=T»)— A'P„,

1/3.1— /Ji = ^. ^-t-v^ — " /— " *«-. ^ Q.U+v/*'— /*') — A'Q„,

par conséquent

^.Ai^ =

Or le dénominateur du second membre est évidemment comparable à .ra"+l, et le numérateur est constant, parce que les équations

Pn+1=2^Pfl — A2P,, Q.+,=aorQ.— A'Q..,, donnent

P.H..Q. — P.Q^ = A,(Q.-.P. — PMQ-).

et comme P, Q2 — P2Qi est indépendant de x, cette relation prouve que les différences analogues, relatives aux valeurs successives de n9 le sont également. Le pro-

P duitde—1 par un facteur constant étant la fraction cherchée, la valeur trouvée pourPw

représente le numérateur F(\r), c'est-à-dire le polynôme qui, entre les limites — A et -h A, s'écarte le moins possible de zéro, et la solution du problème proposé est

Il est aisé de voir que les termes en \/.v' — /r se détruisent dans la somme des deux développements, et queF(r) est, comme l'exige l'énoncé, un polynôme entier et rationnel de degré n. Pour que le coefficient du terme en xn soit l'unité, il faut

donner à C la valeur — » et Ton a enfin

•x +. s>X2"—"fc}H 4 ,; .r sjx*—h* )"

La valeur maxima que prend F (x) entre les limites —h et -+- h de la variable est atteinte, nous l'avons dit, pour x = ±.h; cette valeur est par conséquent égale