La fonction

{x + jx* — fc)n-+-{x — s/x* — /i*)n

peut s'exprimer simplement : si Ton pose

x = h cos?, elle devient

,. hn ( cos <p -h si — 1 sin ?)"-+- A" (cos? — si — isin?)'1 A" cos /t y

et en remplaçant 9 par sa valeur, arc cos ^ on a

A", cos f n arc cos t )

in-

Telle est la fonction entière et rationnelle de x, de degré n, qui, lorsque x varie de — A à -+-A, s'écarte le moins possible de zéro.

491. M. Tchebitchefa appliqué le résultat précédent à la théorie de l'interpolation. Soit F (x) une fonction que l'on cherche à représenter, pour des valeurs de la variable comprises entre — A et -+- A, par un polynôme de la forme

(1) \-{-Bx-t-Cx2-h. . ,-hHx"-';

on détermine, comme on sait, les coefficients A, B, C,..., H, par la condition que pour n valeurs xl9 a?2,..., xn de x, comprises entre —A et -h A, la fonction soit égale au polynôme. Le choix des valeurs xt9 a?2,..., xn est regardé comme indifférent, et Ton trouve plus simple habituellement de les prendre équidistantes; mais le raisonnement suivant montre qu'il est plus avantageux de les choisir autrement. La fonction ¥ (x) étant égale au polynôme f 1 ) pour les valeurs .r,, #2,..., x„ de x, si l'on pose

(2) ¥(*.) — A-B* — Cx\.. — \\x°-> = V{x~Xx](x~*j)'''{x~~Xn),

le facteur P sera, pour chaque valeur de x, égal à l'une des valeurs que prend la nUm* dérivée de F (x)9 lorsque x varie de — A à. -h A; supposons, en effet, que l'on

attribue à P une valeur telle, que l'équation (a) soit exacte poui: une valeur x„+t

de a:, comprise entre — h et -+-A, l'équation

y{x)—k— Kx— r,*'...-ii*— — p(*-*'H*-*')'"(*— *«)=0.

Admettant les* -f- i racines xi9 #2,..., x„+l9 toutes comprises entre —h et -+- A, la dérivée du premier membre s'annule n fois entre les mêmes limites; la seconde dérivée s'annule n— i fois,..., et la nième dérivée une fois au moins. On a, par conséquent, pour une valeur de x comprise entre —A et H- A,

P est donc, comme nous l'avons annoncé, Tune des valeurs que prend P (x), lorsque x varie de —hii-hh.

L'erreur commise en remplaçant la fonction F [x) par le polynôme / 1 \ peut, d'après ce qui précède, être représentée par

[x — xx){x — x*). . .[X XM),

a désignant une valeur inconnue, variable avec x, mais toujours comprise entre — A et -+- h.

Lorsque h est très-petit, si la dérivée P+l (x) a pour x= o une valeur finie et

déterminée, le facteur varie peu, et le rapport de ses valeurs extrêmes

est peu différent de l'unité: on doit donc, pour obtenir la meilleure représentation possible, choisir les valeurs de a?,, .r2,..., .r„ de telle sorte que le produit

.r — xx ' \x — x-t). . . . .r — xH \

s'écarte le inoins possible de zéro, et l'on prendra par conséquent pour .r,, .r r,

les racines de l'équation

Ces racines sont d'ailleurs faciles à obtenir: si Ton fait j? = //cos«, l'équation > devient

ros //:>== o.-

et Ton en lire

= ros