COURBURE DES LIGNES PLANES

Sens de la courbure.

492. Le mot courbure indique la déviation de la forme rectiligne. Lorsqu'une ligne n'est pas droite ou composée de lignes droites, elle est courbe et a eu chaque point une courbure dirigée -vers Tune des deux portions du plan qui sont séparées par la tangente. On dit que la courbe tourne sa concavité vers cette région, et sa convexité vers l'autre : la détermination du sens de la courbure est le premier problème que nous devons résoudre.

Si nous rapportons les points du plan à deux axes de coordonnées rectangulaires, une courbe a sa concavité tournée dans le sens des Y positifs lorsque, dans le voisinage du point de contact, son ordonnée est plus grande que celle de la tangente; dans le cas contraire, elle tourne sa concavité dans le sens des Y négatifs.

Soit /= (f (x) l'équation de la courbe considérée : x et y étant les coordonnées d'un de ses points, celles d'un point voisin sont x -+- h et <?{x + h); o&ona

o(x-+-h) = 9(x)-+-hy'(x)-\ ?"(*-+- 0 h);

v(x) -+- hrp' (x) étant l'ordonnée de la tangente, et h2 étant toujours positif, on voit que le sens de la courbure dépend du signe de tf (x-\-Qh), c'est-à-dire, puisque A est très-petit, du signe de (f"(x). Lorsque <p"(.r) est positif, l'ordonnée de la courbe est, dans le voisinage du point de contact, plus grande que celle de la tangente, la courbe tourne sa concavité dans le sens des Y positifs. Lorsque y" (x) est négatif, la concavité est tournée dans le sens des Y négatifs; dans le cas particulier où <p"{x) est égal à zéro, la différence <p (x -h h) — <p(x) — htp' (x), entre l'ordonnée de la courbe et celle de la tangente, change en général de signe avec h, la tangente traverse la courbe, et la courbure change de sens au point considéré qui est un point d'inflexion.

52i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Définition de la courbure et du rayon de courbure.

493. On nomme courbure totale d'un arc plan sans inflexion, l'angle formé par ses tangentes extrêmes. Il faut entendre par là la somme des angles infiniment petits dont la tangente tourne successivement quand son point de contact passe d'une extrémité à l'autre, en parcourant l'arc tout entier. Si, par exemple, les extrémités coïncident, et que l'arc considéré forme une courbe convexe fermée, les tangentes extrêmes se confondent, mais la courbure totale est égale à quatre angles droits et non à zéro.

La courbure moyenne d'un arc est le rapport de la courbure totale à la longueur de l'arc.

La courbure d'une courbe en un point, est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit pris sur la courbe à partir de ce point. Elle est égale par conséquent à l'angle formé par les tangentes aux extrémités de l'arc infiniment petit, que Ton nomme angle de contingence, divisé par la longueur de l'arc.

D'après ces définitions, la courbure d'un arc de cercle est égale au rapport de cet arc au rayon, et la courbure moyenne, indépendante de la longueur de l'arc, est égale à l'inverse du rayon; telle est aussi par conséquent la courbure d'un cercle en un quelconque de ses points.

Lorsque le rayon d'un cercle varie de zéro à l'infini, la courbure varie de l'infini à zéro; elle peut, par conséquent, prendre toutes les valeurs, et il existe toujours, pour chaque point d'une courbe, un cercle qui a même courbure qu'elle. Le rayon de ce cercle se nomme rayon de courbure, et le cercle lui même, placé de telle sorte qu'il touche la courbe au point considéré, en ayant sa concavité tournée du même côté, se nomme cercle de courbure.

494. Le centre de courbure est le centre du cercle de courbure. Il est le point d'intersection de deux normales infiniment voisines. Pour le démontrer, considérons un arc infiniment petit MM', et soient MO, M'O les normales a ses extrémités.

o L'angle O est égal évidemment a l'angle de contingence de l'arc MM', et le rayon