OM

Or MP et MM' sont des infiniment petits du premier ordre; chacun de ces arcs diffère de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, et la différence des cordes, moindre que M'P, est tout au plus du second ordre; MP et MM' peuvent donc être remplacés l'un par l'autre, et par conséquent la limite OM est égale au rayon de courbure.

Expression du rayon de courbure.

495. Soit y = ? (x) l'équation d'une courbe rapportée à des coordonnées rectangulaires : en nommant ce l'angle formé par la tangente avec l'axe des X, on a

dy taiig a =

et par conséquent

tanga^,

ol = arc tang

L'angle de deux tangentes infiniment voisines, que l'on nomme angle de contingence, est la différence des angles qu'elles forment avec Taxe des X; il a donc pour expression

//v d(djr\ p.dx

. . dr\ \dx dx2 dcL = d arc tang (-/-) = . x . = , j x , *

Uj -(g) ■+(£)

La courbure de la courbe au point considéré est, par définition, le rapport de l'angle da a l'arc correspondant ds : ôr on a

' . ds =

■-V-të)"

la courbure est donc égale à

d'y dx*