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et le rayon de courbure pf qui est l'inverse de la courbure, est par conséquent

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Le cercle de courbure traverse la courbe.

496. Après avois prouvé (474) que les distances maxima et minima d'un point à une courbe sont Tune et l'autre normales, nous avons cherché, sur une normale donnée, le point dont la distance a la courbe comptée sur cette normale n'est ni maxima ni minima, et tel, par conséquent, que le cercle tangent a la courbe, et dont .le point est le centre, soit intérieur d'un côté et extérieur de l'autre, traversant la courbe en même temps qu'il la touche. La distance d'un tel point à la courbe est précisément (474) le rayon de oourbure dont nous venons de trouver l'expression, et par conséquent : le cercle de courbure traverse la courbe.

Il est facile de s'expliquer, à priori, pourquoi la courbe est traversée par son cercle de courbure. Le cercle et la courbe ont en effet même courbure au point qui leur est commun; mais, à partir de ce point, la courbure du cercle est constante, et celle de la courbe variable. C'est pour cela que les deux lignes se séparent; si la courbure de la courbe va en augmentant, celle-ci s'écarte de la tangente plus rapidement que le cercle auquel elle est par conséquent intérieure. Si au contraire la courbure va en diminuant, la courbe est extérieure au cercle. Or il est clair qu'à partir d'un point quelconque, la courbure augmente, lorsqu'on se déplace dans un sens, et diminue lorsqu'on suit la direction opposée. La courbe est donc intérieure d'un côté et extérieure de l'autre à son cercle de courbure. Il y a exception pour les points où la courbure est maxima ou minima ; de quelque côté qu'on s'en éloigne, en effet, la courbure varie dans le même sens, et par conséquent le cercle de courbure est, dans ce cas, intérieur ou extérieur à la courbe : c'est ce qui a lieu, par exemple, au sommet d'une ellipse; à l'extrémité du petit axe, la courbure est minima, et le cercle de courbure est extérieur à la courbe; à l'extrémité du grand axe, au contraire, la courbure est maxima, et le cercle de courbure est intérieur; en tout autre point, le cercle de courbure traverse la courbe.

Diverses expressions du rayon de courbure,

497. Dans la formule trouvée pour expression du rayon de courbure, on a regardé l'abscisse x comme la variable indépendante. Pour s'affranchir de cette sup-

position il suffit (169) de remplacer ^ par

dxd*v — drd*x