LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. N

et l'on a, par conséquent, quelle que soit la variable indépendante,

p dxd2y — dyd2x

Cette formule s'applique commodément lorsque les coordonnées x et y sont données en fonction d'une troisième variable.

498. Lorsque la variable indépendante est l'arc même cle la courbe considérée, l'expression du rayon de courbure peut être transformée à l'aide de la formule

dx* -\- dy- = ds2 , et de

dx dx x -+- dy d7y = o ,

qui s'en déduit par la différenciation; nous avons donné (174) le détail de cette transformation qui conduit à la formule remarquable

o2~~\~dF) + \d*) '

Cette formule est susceptible d'une interprétation géométrique élégante et souvent utile.

A partir du point donné M portons, sur la courbe et sur la tangente, deux longueurs infiniment petites MM', MT, dont c désigne la longueur commune. Les coordonnées du point M' sont, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

dx i ds 9.

dKv ds>

dy i

.>'-+• -7-CT + as -?.

rf'r ds'

;oureusemeut

dx ds

dy ds

on a, par conséquent,

et par conséquent.

L — (ïlfYjL- (d2rV 4-M7Ta

p' ~~ \ ds* ) + \ ds> ) — a* ' d'où l'on déduit

i99. La première expression trouvée pour le rayon de courbure couduit a un théorème équivalent au précédent, et qui, dans certains cas, est d'une forme plus commode. Si l'on prend pour axe des x la tangente en un point, et pour axe des y la normale, l'équation

P= devient

[-mi

d\r dx*

\dx7

y et T" ^tant nu's» P0UP x = °» 8* 'on nomme * l'ordonnée correspondant à une abscisse infiniment petite A, le théorème de Maclaurin donne, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

2 dx1 et par conséquent

\dx*)

Cette formule diffère de la précédente en ce que l'ordonnée k y remplace la distance M'T. Or ces deux lignes, dont les directions forment un angle infiniment petit, ont à la limite un rapport égala l'unité, et la substitution de l'une a l'autre ne change pas la limite du rapport dans lequel elles figurent.

L'équation ( i ) est équivalente au théorème suivant :

Le rayon de courbure, en un point M d'une courbe, est égal au carré d'une longueur infiniment petite MP portée sur la tangente a partir de ce point, divisé par

le double de la ligne PQ perpendiculaire à MP, et comprise entre le point P et la courbe.