LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. S

500. Le théorème précédent conduit à une expression analytique du rayon de courbure équivalente à celle que nous avons déjà obtenue, et quelquefois plus commode, parce qu'elle ne suppose pas l'équation de la courbe résolue par rapport à l'une des coordonnées. Soit <p {x,y) =o l'équation d'une courbe. Prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale au point M, dont les coordonnées actuelles sont x et y, et soient u, v, les coordonnées infiniment petites d'un point voisin de M; le rayon de courbure est, d'après ce que l'on vient de voir,

représenté par — ; pour le déterminer, remarquons qu'en nommant 0 l'angle de

la tangente avec l'ancien axe des x, c'est-a-dire celui que forment les nouveaux axes avec les anciens, les coordonnées du point voisin de .r, y, sont, dans le premier système,

x-\-u cos0 — esin 0,

r-M/sin0 -+- i>cos0, et l'on a par conséquent

(i) 9 (x-hucos G — esin0, r-+- m sin 0H-t>eos0) = o.

Le nouvel axe des x étant tangent à la courbe, si l'on considère u comme infiniment petit du premier ordre, v est infiniment petit du second ordre; nous devons donc, en développant le premier membre de ( i ) par le théorème de Taylor, conserver les termes du second ordre, carie facteur u2, qui multiplie quelques-uns d'entre eux, est comparable au facteur v qui se troifve dans les termes du premier ordre. L'équation ( i) peut donc être remplacée par

o = -7^ ( u cos 0 — v sin 0 ) •+• -r- ( u sin 0 -+- v cos 0 ) dx dy

-f-- I -r^ (/«cos0 — i'sin0)a-j-2 -. — ?-(mcos0 — i'sin0)(«sin0-+-fcos0) 2 \ax2 dxdyK

-h -r^2(usinO -\- v cosOy • Le coefficient de u est nul, parce que l'on a

a dx

tangO=-^-,

■ de plus, les termes en t,a et en uv peuvent être supprimés comme infiniment petits du quatrième et du troisième ordre, et il reste

(3, „ = „(|cos9-gS.ne)+i1..(^coS.S + ^.sl„0cose+^S,„.»),

et par conséquent

-j2 cos 0 — -7^ sin 0 dy dx

d7 o „ d2 o „ dx q ' -s-f cos' 8 + a -7 — j- sin 0 cos 0 -+- -t-j- sin'0

on a, d'ailleurs,

^9 dy J sinô =

v/(S)"* ($)' \/(ë)'-fê)'

et par conséquent