P= LU) +.W I

d7y /dy\2 d2y dy dy d2 y { dy\2

dx7 \dy) dx dy dx dy dy2 \dx)

Cette formule se déduirait aisément de celle qui a été donnée (490) et dont elle n'est qu'une transformation. Nous avons préféré la démontrer directement pour appeler l'attention sur un théorème souvent utile. La méthode précédente a d'ailleurs l'avantage de conduire a l'expression du rayon p, dans le cas où le point considéré

étant singulier, les dérivées -r£? y* deviennent nulles (463), et la formule (4) est

illusoire.

Reprenons dans ce cas l'équation (i) en remarquant que l'on a, outre

y (œ,y) = o, -~ = o, (~y [ = o. Dans le développement du premier membre par le

théorème de Taylor, les termes du premier ordre sont nuls, ainsi que les termes en if, dont le coefficient est précisément l'expression qu'il faut égaler à zéro pour obtenir (463) la direction de la tangente. Les termes de Tordre le moins élevé, par rapport auxquels les autres sont négligeables, seront donc ici ceux qui contiennent le facteur uv et le facteur a3, et, par la suppression des autres, l'équation (i) pourra être réduite à la forme

Pwo-l-7^ m3 = o.

On en déduira donc

P et Q contenant l'angle 6 qui est connu, et les dérivées du second et du troisième ordre du premier membre de l'équation.