LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. m

501. La considération de l'expression explicite deP conduit à unc*conséquence remarquable. Ce coefficient étant le multiplicateur de uv dans l'équation (5), on a

d*Q (I7 Q dio

(7) P = — 2 -r\ sin G cos 0-1-2 -. — -Ç- (cos20 — sin* 0)-\-n -j-\ sin0 eosô;

dx2 dxdy d y2

il est aisé d'en conclure que, lorsque le point singulier considéré est un point de rebroussement, on a P = o, et par conséquent le rayonde courbure est nul, et la courbure infinie. L'angle 0 est donné en effet (463) par l'équation

-3—^ cos1 0-I-2 -j — y- sin G cos 0 ■+- -7-7 sin- 0 = o. dx2 dx dy dy2

Dans le cas qui nous occupe, cette équation a deux racines égales; la dérivée de son premier membre par rapport à 9 est donc nulle, et l'on a par conséquent

0 = — 2 sin 0 cos 0 -r-*- -f- 2 -» — t-(cos20 — sin20)-t-2 -p-^sinO cos0, dx* dxdy dy7

c'est-à-dire P = o.

La courbure d'une courbe en un point de rebroussement est donc infinie. Il peut y avoir exception lorsque, en même temps que P = o, on a Q=o; c'est ce qui arrive dans le cas du rebroussement de seconde espèce. Nous laissons au lecteur le soin de faire celte vérification qui, si l'on se reporte aux formules (465), n'offre aucune difficulté.

502. En se rappelant ce qui a été dit (464) sur la distiuction des points singuliers, on peut démontrer plus directement qu'en un point de rebroussement de première espèce, lé rayon de courbure est égal à zéro. Si l'on nomme en effet u l'angle formé par la tangente à la courbe avec Taxe des x, et u{ l'angle formé avec le * même axe par le rayon vecteur qui réunit le point considéré avec le point où la courbe est coupée par un cercle de rayon R ayant ce point pour centre, on a trouvé, dans le cas d'un rebroussement de première espèce,

A cos2 u ( tang u — tang m, )2 -h M, IV = o ,

M, ayant une valeur finie. Cette équation prouve que tang u— tang'*/,, et par suite u — uî9 est de même ordre que y R, et l'angle de la corde avec la tangente est de même ordre que la racine carrée de la corde. La distance de la tangente à l'extré-

mité de la corde est le produit de R par sin (u — a, ), et par conséquent d'ordre -.

elle est donc infiniment grande par rapport à la distance analogue dans un cercle de rayon quelconque qui est du second ordre. La courbe s'éloignant par consé-

quent de sa tangente infiniment plus rapidement que ne le fait un cercle, elle a une courbure infinie.

503. L'expression du rayon de courbure d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires se déduit aisément de la formule

___ (dx7-\-dy7)* P dxd2y — dyd2x

En calculant dx, dy, d2x, d2y, à l'aide des formules

x = rcos 0,

y= rsinfl, on a

P~~" 9.dr2dQ — rd>rde-\-r2dQ*

(dr\2 d2r

\Te)-rd¥+r ' application à quelques exemples.